设函数 $f(x)=e^x-1-1x$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广东省预赛
【标注】
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求 $f(x)$ 在区间 $[0,\dfrac{1}{n}]$（$n$ 为正整数）上的最大值 $b_n$；标注答案$b_n=e^{\tfrac{1}{n}}-1-\dfrac{1}{n}$解析因为 $f^\prime(x)=e^x-1$，所以当 $x\in[0,\dfrac{1}{n}]$ 时，$f^\prime(x)\geqslant 0$，即 $f(x)$ 在 $[0,\dfrac{1}{n}]$ 上的最大值为 $b_n=e^{\tfrac{1}{n}}-1-\dfrac{1}{n}$．
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令 $a_n=e^{\dfrac{1}{n}}-1-b_n,p_k=\dfrac{a_2a_4\cdots a_{2k}}{a_1a_3\cdots a_{2k-1}}$（$n,k$ 为正整数）．求证：$p_1+p_2+\cdots+p_n<\sqrt{\dfrac{2}{a_n}+1}-1$．标注答案略解析由（1）知 $a_n=e^{\tfrac{1}{n}}-1-b_n=\dfrac{1}{n}$．因为 $\dfrac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2}=\dfrac{4k^2-1}{4k^2}<1$，所以 $[\dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5\centerdot \cdots\centerdot (2k-1)}{2\centerdot 4\centerdot \cdots \centerdot (2k)}]^2=\dfrac{1\centerdot 3}{2^2}\centerdot\dfrac{3\centerdot 5}{4^2}\centerdot \dfrac{5\centerdot 7}{6^2}\centerdot\cdots\centerdot \dfrac{(2k-1)\centerdot (2k+1)}{(2k)^2}\centerdot\dfrac{1}{2k+1}<\dfrac{1}{2k+1}$．又容易证明 $\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}<\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}$，所以 $p_k=\dfrac{a_2a_4\cdots a_{2k}}{a_1a_3\cdots a_{2k-1}}=\dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5\centerdot \cdots\centerdot (2k-1)}{2\centerdot 4\centerdot \cdots \centerdot (2k)}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}<\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}$，所以 $p_1+p_2+\cdots+p_n<(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})=\sqrt{2n+1}-1=\sqrt{\dfrac{2}{a_n}+1}-1.$ 即 $p_1+p_2+\cdots +p_n<\sqrt{\dfrac{2}{a_n}+1}-1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
