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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
16007 602e09e925bdad000ac4d55a 高中 解答题 自招竞赛 在一个游戏中，甲，乙两人轮流抛掷一枚均匀的硬币．数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=4,a_2=3, a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（$n\geqslant 3$）．在第 $n$ 次抛掷中，若硬币正面向上，则甲付给乙 $a_n$ 个游戏币；若反面向上，则乙付给甲 $a_n$ 个游戏币．试求在 $3000$ 次抛掷后，甲的游戏币数量比开始时多的概率． 2022-04-17 19:53:18
16006 602f5b2f25bdad0009f74123 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{8}a_n^2+m$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$），并且对任意正整数 $n$，都有 $a_n<4$．求实数 $m$ 的最大值． 2022-04-17 19:53:18
15904 603dfd1625bdad000ac4d6f7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\{a_n\}$ 是非负整数组成的数列，满足 $a_1=0,a_2=3$，且当 $n\geqslant 3$ 时，有$$a_{n+1}=\frac{(a_{n-1}+2)(a_{n-2}+2)}{a_n
}.$$记 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$S_n\leqslant \frac{n(n+1)}{2}$，并指出等号成立的条件．		 2022-04-17 19:56:17
15897 604ae82495a31e00099cf233 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足$$a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_n}{(1-\sqrt{2})^{n+1}a_n+\sqrt{2}+1} (n=1,2,\ldots).$$试求 $\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a_n}$． 2022-04-17 19:52:17
15895 603efe6125bdad000ac4d7fd 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 为$$1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,\ldots, \underbrace{(-1)^{k-1}k,\ldots, (-1)^{k-1}k}_{k\text{个}}, \ldots,$$即当 $\frac{k(k-1)}{2}<n\leqslant \frac{k(k+1)}{2}$（$k\in\mathbb{N^{\ast}}$）时，有 $a_n=(-1)^{k-1}k$．记 $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．对于 $m\in\mathbb{N^{\ast}}$，定义集合$$P_m=\{n\in\mathbb{N^{\ast}}~|~ S_n\text{是}a_n的整数倍, 1\leqslant n\leqslant m\}.$$试求 $P_{2018}$ 的元素个数． 2022-04-17 19:50:17
15893 603f4c8425bdad000ac4d877 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=e^x-\cos x$（$x>0$），正数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $f(a_n)=a_{n-1}$．证明： 2022-04-17 19:50:17
15891 603f64a825bdad000ac4d8da 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2,a_{n+1}=\frac{2a_n}{1+a_n}$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．试求最小的整数 $M$，使得对任意正整数 $n$，都有$$\sum^n_{i=1}a_i(a_i-1)<M.$$ 2022-04-17 19:48:17
15839 599165b52bfec200011ddce8 高中 解答题 高考真题 给定常数 $c > 0$，定义函数 $f\left(x\right) = 2\left| {x + c + 4} \right| - \left| {x + c} \right|$，数列 ${a_1},{a_2},{a_3},\cdots$ 满足 ${a_{n + 1}} = f\left({a_n}\right),n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$． 2022-04-17 19:23:17
15792 61dd7945ea59ab000b0ec36e 高中 解答题 高中习题 已知 $a > 0$，求 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a^n}}}{{{2^n} + {a^n}}}$． 2022-04-17 19:59:16
15735 590985ec39f91d000a7e4550 高中 解答题 自招竞赛 Alex，Betty和Charlie共有 $444$ 颗花生，Alex的花生最少，Charlie的花生最多．三个人的花生数构成一个等比数列．Alex吃掉 $5$ 颗花生，Betty吃掉 $9$ 颗花生，Charlie吃掉 $25$ 颗花生之后，三个人的花生数构成一个等差数列．求刚开始的时候Alex的花生数． 2022-04-17 19:27:16
15723 590992d038b6b400091efff4 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{[a_n]}$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:21:16
15718 590a8f9b6cddca000a081895 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)={\rm e}^x-\cos x$，正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$f(a_n)=a_{n-1}$，$n\geqslant 2$．证明：存在正整数 $n$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k>2016$． 2022-04-17 19:19:16
15707 590ac7036cddca00078f393d 高中 解答题 高中习题 求 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\arctan\dfrac{1}{2i^2}$． 2022-04-17 19:12:16
15706 590acd1c6cddca00092f6ff3 高中 解答题 高中习题 求证：${\rm e}<\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt {6\sqrt{7\sqrt{8\cdots} }}}}}}<3$． 2022-04-17 19:12:16
15696 590aded16cddca0008610f65 高中 解答题 高中习题 已知 $A$ 是包含 $m$ 个元素的集合，$B$ 是包含 $n$ 个元素的集合，考虑从 $A$ 到 $B$ 的映射个数，单射个数以及满射个数． 2022-04-17 19:06:16
15695 590ae1816cddca0008610f74 高中 解答题 高中习题 求$$\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)^2+\left(\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)^2+\cdots +\left(\dfrac 1n\right)^2+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)$$的值． 2022-04-17 19:05:16
15686 590be1ff6cddca000861104e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbb N^*,$$且 $x_1=3$，求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:00:16
15685 590bf0d2d42ca7000a7e7df2 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=9$，且 $na_{n+2}-6(n+1)a_{n+1}+9(n+2)a_n=0$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:59:15
15681 590c1bedd42ca7000a7e7e75 高中 解答题 自招竞赛 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $14$ 项和 $a_1+a_2+\cdots+a_{14}=77$，已知 $a_1$，$a_{11}$ 为正整数，求 $a_{18}$ 的值． 2022-04-17 19:58:15
15675 590c370a857b420007d3e555 高中 解答题 高中习题 已知无穷数列 $\{a_n\}$ 中，有 $0<a<1$，$a_1=1+a$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}+a$，求证：对一切 $n\in\mathbb N^*$，都有 $a_n>1$． 2022-04-17 19:55:15
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