在一个游戏中，甲，乙两人轮流抛掷一枚均匀的硬币．数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=4,a_2=3, a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（$n\geqslant 3$）．在第 $n$ 次抛掷中，若硬币正面向上，则甲付给乙 $a_n$ 个游戏币；若反面向上，则乙付给甲 $a_n$ 个游戏币．试求在 $3000$ 次抛掷后，甲的游戏币数量比开始时多的概率．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(16)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由对称性可知，甲，乙在该游戏结束时的游戏币数量比开始时多的概率相等，设在 $3000$ 次抛掷后，他们的游戏币数量与开始时相等的概率为 $x$，则所求概率即为 $\frac{1}{2}(1-x)$．
该 $S_n=i_1a_1+i_2a_2+\ldots+i_na_n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$），其中 $i_1,i_2,\ldots,i_n$ 分别等可能地取 $1$ 或 $-1$．于是，$x$ 等于 $S_{3000}=0$ 的概率．
我们将证明，$S_{3000}=0$ 当且仅当对所有 $k\leqslant 1000$，都有 $i_{3k}=-i_{3k-1}=-i_{3k-2}$．首先证明如下引理．\begin{lemma}
\label{2018.QuanGuoGM16.lemma.1}
对所有整数 $n\geqslant 4$ , 都有 $\displaystyle a_n>\sum^{n-3}_{k=1}a_k$ .
\end{lemma}引理（\ref{2018．QuanGuoGM16．lemma．1}）的证明 当 $n=4$ 时，$a_4=a_3+a_2=2a_2+a_1>a_1$．当 $n>4$ 时，$$a_n=a_{n-2}+a_{n-1}>a_{n-2}+\sum^{n-4}_{k=1}a_k=a_{n-4}+\sum^{n-3}_{k=1}a_k>\sum^{n-3}_{k=1}a_k.$$引理证毕，回到原题．
下面证明，$S_{3n}=0$ 当且仅当 $i_{3k}=-i_{3k-1}=-i_{3k-2}$（$k\leqslant n$）．由三角不等式，得$$\begin{aligned}
&0\leqslant ||i_{3n-2}a_{3n-2}+S_{3n-3}|-|i_{3n-1}a_{3n-1}+i_{3n}a_{3n}||\leqslant |S_{3n}|=0,\\
&0\leqslant ||i_{3n-1}+S_{3n-3}|-|i_{3n-2}a_{3n-2}+i_{3n}a_{3n}||\leqslant |S_{3n}|=0,\\
\end{aligned}$$而由引理，我们有$$\begin{aligned}
&a_{3n-1}+a_{3n}>a_{3n-2}+a_{3n}>a_{3n-2}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k,\\
&a_{3n-2}+a_{3n}=a_{3n-1}+a_{3n-3}+a_{3n-4}+a_{3n-2}>a_{3n-1}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k.\\
\end{aligned}$$若 $i_{3n}=i_{3n-1}$，则$$\left|a_{3n-2}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k\right|<|i_{3n-1}a_{3n-1}+i_{3n}a_{3n}|;$$若 $i_{3n}=i_{3n-2}$，则$$\left|a_{3n-1}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k\right|<|i_{3n-2}a_{3n-2}+i_{3n}a_{3n}|.$$两者均导致矛盾，因此，$i_{3n}=-i_{3n-1},i_{3n}=-i_{3n-2}$．
又 $i_{3n}=-i_{3n-1}=-i_{3n-2}$ 的概率为 $\frac{1}{4}$，故 $x=\left(\frac{1}{4}\right)^{1000}=\frac{1}{2^{2000}}$，故所求概率为 $\frac{1-x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2001}}$．
该 $S_n=i_1a_1+i_2a_2+\ldots+i_na_n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$），其中 $i_1,i_2,\ldots,i_n$ 分别等可能地取 $1$ 或 $-1$．于是，$x$ 等于 $S_{3000}=0$ 的概率．
我们将证明，$S_{3000}=0$ 当且仅当对所有 $k\leqslant 1000$，都有 $i_{3k}=-i_{3k-1}=-i_{3k-2}$．首先证明如下引理．\begin{lemma}
\label{2018.QuanGuoGM16.lemma.1}
对所有整数 $n\geqslant 4$ , 都有 $\displaystyle a_n>\sum^{n-3}_{k=1}a_k$ .
\end{lemma}引理（\ref{2018．QuanGuoGM16．lemma．1}）的证明 当 $n=4$ 时，$a_4=a_3+a_2=2a_2+a_1>a_1$．当 $n>4$ 时，$$a_n=a_{n-2}+a_{n-1}>a_{n-2}+\sum^{n-4}_{k=1}a_k=a_{n-4}+\sum^{n-3}_{k=1}a_k>\sum^{n-3}_{k=1}a_k.$$引理证毕，回到原题．
下面证明，$S_{3n}=0$ 当且仅当 $i_{3k}=-i_{3k-1}=-i_{3k-2}$（$k\leqslant n$）．由三角不等式，得$$\begin{aligned}
&0\leqslant ||i_{3n-2}a_{3n-2}+S_{3n-3}|-|i_{3n-1}a_{3n-1}+i_{3n}a_{3n}||\leqslant |S_{3n}|=0,\\
&0\leqslant ||i_{3n-1}+S_{3n-3}|-|i_{3n-2}a_{3n-2}+i_{3n}a_{3n}||\leqslant |S_{3n}|=0,\\
\end{aligned}$$而由引理，我们有$$\begin{aligned}
&a_{3n-1}+a_{3n}>a_{3n-2}+a_{3n}>a_{3n-2}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k,\\
&a_{3n-2}+a_{3n}=a_{3n-1}+a_{3n-3}+a_{3n-4}+a_{3n-2}>a_{3n-1}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k.\\
\end{aligned}$$若 $i_{3n}=i_{3n-1}$，则$$\left|a_{3n-2}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k\right|<|i_{3n-1}a_{3n-1}+i_{3n}a_{3n}|;$$若 $i_{3n}=i_{3n-2}$，则$$\left|a_{3n-1}+\sum^{3n-3}_{k=1}a_k\right|<|i_{3n-2}a_{3n-2}+i_{3n}a_{3n}|.$$两者均导致矛盾，因此，$i_{3n}=-i_{3n-1},i_{3n}=-i_{3n-2}$．
又 $i_{3n}=-i_{3n-1}=-i_{3n-2}$ 的概率为 $\frac{1}{4}$，故 $x=\left(\frac{1}{4}\right)^{1000}=\frac{1}{2^{2000}}$，故所求概率为 $\frac{1-x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2001}}$．
答案
解析
备注
