求证：${\rm e}<\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt {6\sqrt{7\sqrt{8\cdots} }}}}}}<3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $a_n=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt {6\cdots\sqrt{n} }}}}}$（$n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*$），则当 $n\geqslant 8>{\rm e}^2$ 时，有$$\ln a_n=\dfrac{\ln 2}{2^1}+\dfrac{\ln 3}{2^2}+\cdots +\dfrac{\ln n}{2^{n-1}}>\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots +\dfrac {1}{2^{n-2}}+\dfrac{2}{2^{n-1}}=1,$$结合 $\{a_n\}$ 单调递增，可得左边不等式得证．
又因为\[\begin{split} 3>&\sqrt {3^2-1}=\sqrt{2\cdot 4}\\>&\sqrt{2\cdot\sqrt{4^2-1}}=\sqrt{2\sqrt{3\cdot 5}}\\>&\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdot 6}}}>\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\cdot 7}}}}\\>&\cdots\\>&\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt {6\sqrt{7\sqrt{8\cdots} }}}}}}.\end{split}\]右边不等式得证．
综上所述，原命题得证．
又因为\[\begin{split} 3>&\sqrt {3^2-1}=\sqrt{2\cdot 4}\\>&\sqrt{2\cdot\sqrt{4^2-1}}=\sqrt{2\sqrt{3\cdot 5}}\\>&\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdot 6}}}>\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\cdot 7}}}}\\>&\cdots\\>&\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt {6\sqrt{7\sqrt{8\cdots} }}}}}}.\end{split}\]右边不等式得证．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
