已知 $a > 0$，求 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a^n}}}{{{2^n} + {a^n}}}$．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\begin{cases}
0,& 0 < a < 2 ,\\
\dfrac{1}{2}, &a = 2 ,\\
1,&a > 2 .
\end{cases}$
0,& 0 < a < 2 ,\\
\dfrac{1}{2}, &a = 2 ,\\
1,&a > 2 .
\end{cases}$
【解析】
根据题意，有\[\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{2^n+a^n}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{\left(\dfrac 2a\right)^n+1}.\]故 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a^n}}}{{{2^n} + {a^n}}}=\begin{cases}
0,& 0 < a < 2 ,\\
\dfrac{1}{2}, &a = 2 ,\\
1,&a > 2 .
\end{cases}$
0,& 0 < a < 2 ,\\
\dfrac{1}{2}, &a = 2 ,\\
1,&a > 2 .
\end{cases}$
答案
解析
备注
