题目 给定常数 $c > 0$，定义函数 $f\left(x\right) = 2\left| {x + c + 4} \right| - \left| {x + c} \right|$，数列 ${a_1},{a_2},{a_3},\cdots$ 满足 ${a_{n + 1}} = f\left({a_n}\right),n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$． 问题1 若 ${a_1} = - c - 2$，求 ${a_2}$ 及 ${a_3}$； 答案1 略 解析1 因为 $ c>0,{{a}_{1}}=-\left(c+2\right)$，故\[ \begin{split} {{a}_{2}}&=f\left({{a}_{1}}\right) \\& =2|{{a}_{1}}+c+4|-|{{a}_{1}}+c| \\& =2 , \\ {{a}_{3}}&=f\left({{a}_{1}}\right) \\& =2|{{a}_{2}}+c+4|-|{{a}_{2}}+c| \\& =c+10.\end{split} \] 备注1 问题2 求证：对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}},{a_{n + 1}} - {a_n} \geqslant c$； 答案2 略 解析2 要证明原命题，只需证明 $ f\left(x\right)\geqslant x+c $ 对任意 $ x\in \mathbb{R} $ 都成立，\[ f\left(x\right)\geqslant x+c\Leftrightarrow 2|x+c+4|-|x+c|\geqslant x+c, \]即只需证明\[ 2|x+c+4|\geqslant |x+c|\text{+}x+c. \]若 $ x+c\leqslant \text{0} $，显然有\[ 2|x+c+4|\geqslant |x+c|\text{+}x+c\text{=0} \]成立；<br/>若 $ x+c>\text{0} $，则\[ 2|x+c+4|\geqslant |x+c|\text{+}x+c\Leftrightarrow x+c+4>x+c \]显然成立．<br/>综上，$ f\left(x\right)\geqslant x+c $ 恒成立，<br/>即对任意的 $ n\in {{\mathbb{N}}^{*}} $，都有 ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}\geqslant c. $ 成立． 备注2 问题3 是否存在 ${a_1}$，使得 ${a_1},{a_2},\cdots,{a_n},\cdots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ${a_1}$，若不存在，说明理由． 答案3 略 解析3 由（2）知，若 $ \left\{{{a}_{n}}\right\} $ 为等差数列，则公差 $ d\geqslant c> 0 $，故 $ n $ 无限增大时，总有 $ {{a}_{n}} > 0 $．<br/>此时，\[\begin{split} {{a}_{n+1}}&=f\left({{a}_{n}}\right)\\&=2\left({{a}_{n}}+c+4\right)-\left({{a}_{n}}+c\right)\\&={{a}_{n}}+c+8,\end{split} \]即 $ d=c+8 $，故\[ \begin{split}{{a}_{2}}&=f\left({{a}_{1}}\right) \\&=2|{{a}_{1}}+c+4|-|{{a}_{1}}+c| \\&={{a}_{1}}+c+8, \end{split}\]即\[ 2|{{a}_{1}}+c+4|=|{{a}_{1}}+c|+{{a}_{1}}+c+8, \]当 $ {{a}_{1}}+c\geqslant 0 $ 时，等式成立，且 $ n\geqslant 2 $ 时，$ {{a}_{n}}>0 $，此时 $ \left\{{{a}_{n}}\right\} $ 为等差数列，满足题意；<br/>若 $ {{a}_{1}}+c<\text{0} $，则\[ |{{a}_{1}}+c+4|=4\Rightarrow {{a}_{1}}=-c-8, \]此时，\[ {{a}_{2}}=0,{{a}_{3}}=c+8,\cdots ,{{a}_{n}}=\left(n-2\right)\left(c+8\right) \]也满足题意；<br/>综上，满足题意的 $ {{a}_{1}} $ 的取值范围是\[ \left[-c,+\infty \right)\cup \left\{-c-8\right\}.\] 备注3