已知 $\{a_n\}$ 是非负整数组成的数列，满足 $a_1=0,a_2=3$，且当 $n\geqslant 3$ 时，有$$a_{n+1}=\frac{(a_{n-1}+2)(a_{n-2}+2)}{a_n
}.$$记 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$S_n\leqslant \frac{n(n+1)}{2}$，并指出等号成立的条件．
}.$$记 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$S_n\leqslant \frac{n(n+1)}{2}$，并指出等号成立的条件．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(19)
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=3$ 时，由 $a_4a_3=10$，得 $a_3\in\{1,2,5,10\}$．
当 $n=4$ 时，$a_5a_4=5(a_3+2)$，若 $a_3=1,5$，则 $a_4=10,2$，但 $a_6\not\in \mathbb{N}$．
当 $n=5$ 时，$a_6a_5=(a_4+2)(a_3+2)$，若 $a_3=10$，则 $a_4=1, a_5=60$，但 $a_6\not\in \mathbb{N}$．
因此，$a_3=2,a_4=5,a_5=4,a_6=7$．
令 $b_n=\frac{a_n}{a_{n-2}+2}$（$n\geqslant 3$），则 $b_nb_{n+1}=1$．因为 $ b_3=\frac{a_3}{a_1+2}=1$，所以 $b_4=b_5=\ldots=b_n=1$，即 $a_n=a_{n-2}+2$，故$$\begin{aligned}
&a_{2k-1}=0+2(k-1)=2k-2,\\
&a_{2k}=3+2(k-1)=2k+1.\\
\end{aligned}$$则 $a_n=n+(-1)^n$，所以$$S_n=\left\{\begin{aligned}
&\frac{n(n+1)}{2}, &&n\text{为偶数};\\
&\frac{n(n+1)}{2}-1, &&n\text{为奇数};\\
\end{aligned}\right.$$于是，$S_n\leqslant \frac{n(n+1)}{2}$．其中等号成立当且仅当 $n$ 为偶数．
当 $n=4$ 时，$a_5a_4=5(a_3+2)$，若 $a_3=1,5$，则 $a_4=10,2$，但 $a_6\not\in \mathbb{N}$．
当 $n=5$ 时，$a_6a_5=(a_4+2)(a_3+2)$，若 $a_3=10$，则 $a_4=1, a_5=60$，但 $a_6\not\in \mathbb{N}$．
因此，$a_3=2,a_4=5,a_5=4,a_6=7$．
令 $b_n=\frac{a_n}{a_{n-2}+2}$（$n\geqslant 3$），则 $b_nb_{n+1}=1$．因为 $ b_3=\frac{a_3}{a_1+2}=1$，所以 $b_4=b_5=\ldots=b_n=1$，即 $a_n=a_{n-2}+2$，故$$\begin{aligned}
&a_{2k-1}=0+2(k-1)=2k-2,\\
&a_{2k}=3+2(k-1)=2k+1.\\
\end{aligned}$$则 $a_n=n+(-1)^n$，所以$$S_n=\left\{\begin{aligned}
&\frac{n(n+1)}{2}, &&n\text{为偶数};\\
&\frac{n(n+1)}{2}-1, &&n\text{为奇数};\\
\end{aligned}\right.$$于是，$S_n\leqslant \frac{n(n+1)}{2}$．其中等号成立当且仅当 $n$ 为偶数．
答案
解析
备注
