已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=9$，且 $na_{n+2}-6(n+1)a_{n+1}+9(n+2)a_n=0$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=3^{n-2}\left(n^3-n+3\right),n\in\mathbb N^*$
【解析】
由已知条件，可得$$n\left(a_{n+2}-3a_{n+1}\right)=3(n+2)\left(a_{n+1}-3a_n\right),$$于是$$\dfrac{a_{n+2}-3a_{n+1}}{3^{n+1}\cdot (n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n+1}-3a_n}{3^n\cdot n(n+1)},$$因此可得$$\dfrac{a_{n+1}-3a_n}{3^n\cdot n(n+1)}=\dfrac{a_2-3a_1}{3^1\cdot 1\cdot 2}=1,$$进而可得$$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac 13n(n+1),$$累加可得$$\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac 19 (n-1)n(n+1)+\dfrac 13,$$这样我们就得到了$$a_n=3^{n-2}\left(n^3-n+3\right),n\in\mathbb N^*.$$
答案
解析
备注
