设数列 $\{a_n\}$ 为$$1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,\ldots, \underbrace{(-1)^{k-1}k,\ldots, (-1)^{k-1}k}_{k\text{个}}, \ldots,$$即当 $\frac{k(k-1)}{2}<n\leqslant \frac{k(k+1)}{2}$（$k\in\mathbb{N^{\ast}}$）时，有 $a_n=(-1)^{k-1}k$．记 $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．对于 $m\in\mathbb{N^{\ast}}$，定义集合$$P_m=\{n\in\mathbb{N^{\ast}}~|~ S_n\text{是}a_n的整数倍, 1\leqslant n\leqslant m\}.$$试求 $P_{2018}$ 的元素个数．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(22)
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $\frac{(k-1)k}{2}<n\leqslant \frac{k(k+1)}{2}$ 时．$a_k=(-1)^{k-1}k$．若 $k$ 为奇数，则$$\begin{aligned}
&1+(-2)\times 2+3\times 3+\ldots+(-1)^{k-2}(k-1)\times(k-1)+(-1)^{k-1}k\times k\\
&=1-2^2+3^2-4^2+\ldots +(-1)^{k-2}(k-1)^2+(-1)^{k-1}k^2\\
&=(k^2-(k-1)^2)+((k-2)^2-(k-3)^2)+\ldots+(3^2-2^2)+1\\
&=(2k-1)+(2k-5)+\ldots+5+1\\ &=k\cdot \frac{k+1}{2}\\
\end{aligned}$$被 $a_n= k$ 整除．而 $S_n$ 与这个和只相差若干个 $k$，从而，$S_n$ 被 $a_n$ 整除．若 $k$ 为偶数，则$$\begin{aligned}&1+(-2)\times 2+3\times 3+\ldots +(-1)^{k-2}(k-1)\times (k-1)+(-1)^{k-1}k\times k\\
&=1-2^2+3^2-4^2+\ldots+(-1)^{k-2}(k-1)^2+(-1)^{k-1}k^2\\
&=(-k^2+(k-1)^2)+(-(k-2)^2+(k-3)^2)+\ldots+(-2^2+1)\\
&=-(2k-1)-(2k-5)-\ldots -3\\ &=-(k+1)\cdot \frac{k}{2}\\
\end{aligned}$$不被 $a_n=k$ 整除．从而，$S_n$ 不被 $a_n$ 整除．
因为 $2018=\frac{63\times 64}{2}+2<\frac{64\times 65}{2}$，所以满足 $\frac{(k-1)k}{2}$ 的奇数为 $k=1,2,\ldots,63$ 区间 $(\frac{(k-1)k}{2},\frac{k(k+1)}{2}]$ 中的正整数 $n$ 有 $k$ 个 $(k=1,2,\ldots,63)$，因此，被 $a_n$ 整除的 $S_n$ 有 $1+3+5+\ldots +61+63 = 1024$ 个，即 $P_{2018}$ 中的元素个数为 $1024$．
&1+(-2)\times 2+3\times 3+\ldots+(-1)^{k-2}(k-1)\times(k-1)+(-1)^{k-1}k\times k\\
&=1-2^2+3^2-4^2+\ldots +(-1)^{k-2}(k-1)^2+(-1)^{k-1}k^2\\
&=(k^2-(k-1)^2)+((k-2)^2-(k-3)^2)+\ldots+(3^2-2^2)+1\\
&=(2k-1)+(2k-5)+\ldots+5+1\\ &=k\cdot \frac{k+1}{2}\\
\end{aligned}$$被 $a_n= k$ 整除．而 $S_n$ 与这个和只相差若干个 $k$，从而，$S_n$ 被 $a_n$ 整除．若 $k$ 为偶数，则$$\begin{aligned}&1+(-2)\times 2+3\times 3+\ldots +(-1)^{k-2}(k-1)\times (k-1)+(-1)^{k-1}k\times k\\
&=1-2^2+3^2-4^2+\ldots+(-1)^{k-2}(k-1)^2+(-1)^{k-1}k^2\\
&=(-k^2+(k-1)^2)+(-(k-2)^2+(k-3)^2)+\ldots+(-2^2+1)\\
&=-(2k-1)-(2k-5)-\ldots -3\\ &=-(k+1)\cdot \frac{k}{2}\\
\end{aligned}$$不被 $a_n=k$ 整除．从而，$S_n$ 不被 $a_n$ 整除．
因为 $2018=\frac{63\times 64}{2}+2<\frac{64\times 65}{2}$，所以满足 $\frac{(k-1)k}{2}$ 的奇数为 $k=1,2,\ldots,63$ 区间 $(\frac{(k-1)k}{2},\frac{k(k+1)}{2}]$ 中的正整数 $n$ 有 $k$ 个 $(k=1,2,\ldots,63)$，因此，被 $a_n$ 整除的 $S_n$ 有 $1+3+5+\ldots +61+63 = 1024$ 个，即 $P_{2018}$ 中的元素个数为 $1024$．
答案
解析
备注
