已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{8}a_n^2+m$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$），并且对任意正整数 $n$，都有 $a_n<4$．求实数 $m$ 的最大值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(17)
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{8}a_n^2-a_n+m=\frac{1}{8}(a_n-4)^2+m-2\geqslant m-2,$$所以$$a_n=a_1+\sum^{n-1}_{k=1}(a_{k+1}-a_k)\geqslant 1+(m-2)(n-1).$$若 $m>2$，注意到当 $n\to +\infty$ 时，$(m-2)(n-1)\to +\infty$．因此，存在充分大的正整数 $n$，使得 $1+(m-2)(n-1)>4$，即 $a_n>4$，矛盾．故 $m\leqslant 2$．
当 $m=2$ 时，可以用数学归纳法证明，对任意正整数 $n$，都有 $0<a_n<4$．
当 $n=1$ 时，有 $a_1=1<4$，结论成立．
假设当 $n=k $（$k\in\mathbb{N^{\ast}}$）时结论成立，即 $0<a_k<4$，则$$0<a_{k+1}=2+\frac{1}{8}a_k^2<2+\frac{1}{8}\times 4^2=4,$$故结论对 $n=k+1$ 也成立．因此，对任意正整数 $n$，都有 $0<a_n<4$．
综上所述，所求实数 $m$ 的最大值为 $2$．
当 $m=2$ 时，可以用数学归纳法证明，对任意正整数 $n$，都有 $0<a_n<4$．
当 $n=1$ 时，有 $a_1=1<4$，结论成立．
假设当 $n=k $（$k\in\mathbb{N^{\ast}}$）时结论成立，即 $0<a_k<4$，则$$0<a_{k+1}=2+\frac{1}{8}a_k^2<2+\frac{1}{8}\times 4^2=4,$$故结论对 $n=k+1$ 也成立．因此，对任意正整数 $n$，都有 $0<a_n<4$．
综上所述，所求实数 $m$ 的最大值为 $2$．
答案
解析
备注
