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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
17971 5dc521dc210b282710a26bb6 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$X、Y$ 为边 $BC$ 上的两点（点 $X$ 在 $B、Y$ 之间），满足 $2XY=BC$，$AA^\prime$ 为 $\triangle AXY$ 外接圆的直径，过点 $B$ 作 $BC$ 的垂线，与直线 $AX$ 交于点 $P$，过点 $C$ 作 $BC$ 的垂线，与直线 $AY$ 交与点 $Q$．证明：$\triangle AXY$ 的外接圆在点 $A^\prime$ 处的切线通过 $\triangle APQ$ 的外心． 2022-04-17 19:13:37
17970 5dc5232b210b282710a26bbd 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，内切圆 $\odot I$ 与边 $BC$ 切于点 $D$，直线 $DI$ 与边 $AC$ 交于点 $X$，过点 $X$ 作 $\odot I$ 的切线（不同于直线 $AC$）与 $AB$ 交于点 $ Y $，$ Z $ 为 $ YI $ 与 $ BC $ 的交点．证明：$ AB =BZ$． 2022-04-17 19:12:37
17969 5dc52383210b28270fa5dc82 高中 解答题 自招竞赛 已知平面上有六个半径不小于 $1$ 的圆，它们两两不相交．证明：若某个圆与这六 个圆均相交，则该圆的半径不小于 $1$． 2022-04-17 19:12:37
17968 5dc523c5210b282710a26bc7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，直线 $CO$ 与边 $BC$ 上的高交于点 $K$，$P、M$ 分别为 $AK、AC$ 的中点，$PO$ 与 $BC$ 交于点 $Y$，$\triangle BCM$ 的外接圆与 $AB$ 交于点 $X$（不与点 $B$ 重合）．证明：$B、X、O、Y$ 四点共圆． 2022-04-17 19:11:37
17966 5dc52438210b282710a26bcf 高中 解答题 自招竞赛 已知三个圆 $\Gamma_1、\Gamma_2、\Gamma_3$ 与直线 $l$ 分别切于点 $A、B,C$（点 $B$ 在 $A、C$ 之间），且圆 $\Gamma_2$ 分别与圆 $\Gamma_1、\Gamma_3$ 外切于点 $E、F$．设圆 $\Gamma_1、\Gamma_3$ 的外公切线与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $X、Y$，过点 $B$ 且垂直于 $l$ 的直线与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $Z$（不与点 $B$ 重合）．证明：直线 $ZX、ZY$ 均与以 $AC$ 为直径的圆相切． 2022-04-17 19:11:37
17965 5dc52648210b28270fa5dc8b 高中 解答题 自招竞赛 已知球面 $S$ 与平面 $\alpha$ 相切，$A、B、C、D$ 为平面 $\alpha$ 上的四个点，满足任意三点不共线，点 $A^\prime$ 使得球面 $S$ 与四面体 $A^\prime BCD$ 的各个面相切，类似地可定义点 $B^\prime、C^\prime、D^\prime$．证明：$A^\prime、B^\prime、C^\prime、D^\prime$ 四点共面，且该平面与球面 $S$ 相切． 2022-04-17 19:10:37
17952 5dbfd68e210b282710a269a5 高中 解答题 自招竞赛 有四个边长分别为 $3$ 厘米、$4$ 厘米、$5$ 厘米的木三角形．用所有这些三角形能拼成多少种凸多边形（只需画出凸多边形，不需要证明）？
注：凸多边形的所有内角均小于 $180^\circ$，且它没有任何洞．图一是凸的，图二不是凸的．		 2022-04-17 19:02:37
17951 5dbfd849210b282710a269ad 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，点 $ M、N、K$ 分别在边 $BC、AC、AB$ 上，使得 $BK=KM=MN= NC$．若 $AN=2AK$，求 $\angle B,\angle C$ 的度数． 2022-04-17 19:02:37
17939 5dc383fe210b28270fa5dbc0 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆 $\Gamma,\Gamma^\prime$ 交于 $A,B$ 两点．圆 $\Gamma$ 在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma^\prime$ 的另一个交点为 $C$，圆 $\Gamma^\prime$ 在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma$ 的另一个交点为 $D$，线段 $CD$ 与两圆分别交于点 $E,F$．过点 $E$ 作 $AC$ 的垂线，与圆 $\Gamma^\prime$ 交于点 $P$；过点 $F$ 作 $AD$ 的垂线，与圆 $\Gamma$ 交于点 $Q$（点 $A,P,Q$ 在直线 $CD$ 的同侧）．证明：$A,P,Q$ 三点共线． 2022-04-17 19:56:36
17341 597fd2fed05b90000c805a3c 高中 解答题 高中习题 在四面体 $ABCD$ 中，棱 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，求证：任意一个过 $M,N$ 的平面均将四面体 $ABCD$ 分为体积相等的两个部分． 2022-04-17 19:26:31
17274 59890d825ed01a000ad799c2 高中 解答题 自招竞赛 如图，梯形 $ABCD$ 中，$B$、$D$ 关于对角线 $AC$ 对称的点分别是 $B'$、$D'$，$A$、$C$ 关于对角线 $BD$ 对称的点分别是 $A'$、$C'$．证明：四边形 $A'B'C'D'$ 是梯形． 2022-04-17 19:50:30
16999 599165ca2bfec200011e1b43 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi}{2}\right)$，其中 $0<\omega <3$．已知 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$． 2022-04-17 19:14:28
16717 5f000f15210b28775079a776 高中 解答题 高中习题 函数 $y=\frac{2}{3}\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象与正弦曲线有什么关系？ 2022-04-17 19:33:25
16716 5f000f82210b28774f712ed4 高中 解答题 高中习题 函数 $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{12}\right),x\in[0,+\infty)$ 的图象与正弦曲线有什么关系？ 2022-04-17 19:32:25
16715 5f0136dc210b28774f712eec 高中 解答题 高中习题 将函数 $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 后，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $y=g(x)$ 的解析式． 2022-04-17 19:30:25
16689 599165bf2bfec200011dfb86 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right)$ 的图象是由函数 $g\left(x\right)=\cos x$ 的图象经如下变换得到：先将 $g\left(x\right)$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 $\dfrac{\mathrm \pi} 2$ 个单位长度． 2022-04-17 19:16:25
16685 599165bf2bfec200011dfb01 高中 解答题 高考真题 某同学用“五点法”画函数 $f\left(x\right)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)\left(\omega>0,{\left|{\varphi}\right|}<\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
\omega x+\varphi & 0 & \dfrac{\mathrm \pi} 2 & {\mathrm \pi} & \dfrac{3{\mathrm \pi} }2 & 2{\mathrm \pi} \\ \hline
x & & \dfrac{\mathrm \pi} 3 & &\dfrac{5{\mathrm \pi} }6 & \\ \hline
A\sin\left(\omega x+\varphi\right) & 0 & 5 & & -5 & 0 \\ \hline
\end{array} \]		 2022-04-17 19:15:25
16653 599165c52bfec200011e0caf 高中 解答题 高考真题 如图，$ AB $ 是圆 $ O $ 的直径，$ C $、$ D $ 是圆 $ O $ 上位于 $ AB $ 异侧的两点．证明：$ \angle OCB=\angle D $． 2022-04-17 19:55:24
16634 599165c32bfec200011e06b4 高中 解答题 高考真题 如图，$P$ 是 $ \odot O$ 外一点，$PA$ 是切线，$A$ 为切点，割线 $PBC$ 与 $ \odot O$ 相交于点 $B$，$C$，$PC = 2PA$，$D$ 为 $PC$ 的中点，$AD$ 的延长线交 $ \odot O$ 于点 $E$．证明： 2022-04-17 19:46:24
16601 599165c32bfec200011e0874 高中 解答题 高考真题 如图，四边形 $ABCD$ 是 $ \odot O$ 的内接四边形，$AB$ 的延长线与 $DC$ 的延长线交于点 $E$，且 $CB = CE$． 2022-04-17 19:30:24
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