已知球面 $S$ 与平面 $\alpha$ 相切，$A、B、C、D$ 为平面 $\alpha$ 上的四个点，满足任意三点不共线，点 $A^\prime$ 使得球面 $S$ 与四面体 $A^\prime BCD$ 的各个面相切，类似地可定义点 $B^\prime、C^\prime、D^\prime$．证明：$A^\prime、B^\prime、C^\prime、D^\prime$ 四点共面，且该平面与球面 $S$ 相切．
【难度】
【出处】
2017年第四届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
设球面 $S$ 与平面 $\alpha$ 切于点 $P$，分别过 $ AB、BC、CA$ 作与球面 $S$ 相切的三个平面，则其交点即为点 $ D^\prime$（$A^\prime、B^\prime、C^\prime$ 类似可得）．
记过点 $X、Y$ 且与球面 $S$ 相切的平面，切点为 $P_{xy}$．
注意到，$AP、AP_{ab}、AP_{ac}、AP_{ad}$ 分别与球面 $S$ 切于点 $P、P_{ab}、P_{ac}、P_{ad}$，于是，此四点在同一 个圆 $\Gamma_a$ 上．类似地，可找到其他儿个三点组也与点 $P $ 共圆，记这三个圆分别为 $\Gamma_b,\Gamma_c,\Gamma_d$．
现以 $P$ 为反演中心、任意长度为反演半径作反演变换．这四个圆 $\Gamma_a、\Gamma_b、\Gamma_c、\Gamma_d$ 的像就是四条直线，记为 $l_a、l_b、l_c、l_d$，且 $P_{ab}$ 的像即为直线 $l_a$ 与 $l_b$ 的交点．类似地，还有其他结论．记 $\triangle P_{a b} P_{b c} P_{c a}, \triangle P_{a b} P_{b d} P_{d a} , \triangle P_{a c} P_{c d} P_{d a}, \triangle P_{b c} P_{c d} P_{d b}$ 的外接圆分别为 $\Gamma_a^\prime,\Gamma_b^\prime,\Gamma_c^\prime,\Gamma_d^\prime$，结合密克定理，知其交于一点 $P^\prime$．从而，点 $P^\prime$ 在球面 $S$ 上．
注意到，过点 $D^\prime$ 作球面 $S$ 的全体切线，其切点所构成的集合就是圆 $\Gamma_b^\prime$，故 $D^\prime P^\prime$ 与球面 $S$ 相切，且 $D^\prime$ 位于球面 $S$ 在点 $P^\prime$ 处的切平面上．
类似地，$A^\prime、B^\prime,C^\prime$ 也均位于球面 $S$ 在点 $P^\prime$ 处的切平面上．
这表明，$A^\prime、B^\prime、C^\prime、D^\prime$ 四点共面，且该平面与球面 $S$ 相切．
记过点 $X、Y$ 且与球面 $S$ 相切的平面，切点为 $P_{xy}$．
注意到，$AP、AP_{ab}、AP_{ac}、AP_{ad}$ 分别与球面 $S$ 切于点 $P、P_{ab}、P_{ac}、P_{ad}$，于是，此四点在同一 个圆 $\Gamma_a$ 上．类似地，可找到其他儿个三点组也与点 $P $ 共圆，记这三个圆分别为 $\Gamma_b,\Gamma_c,\Gamma_d$．
现以 $P$ 为反演中心、任意长度为反演半径作反演变换．这四个圆 $\Gamma_a、\Gamma_b、\Gamma_c、\Gamma_d$ 的像就是四条直线，记为 $l_a、l_b、l_c、l_d$，且 $P_{ab}$ 的像即为直线 $l_a$ 与 $l_b$ 的交点．类似地，还有其他结论．记 $\triangle P_{a b} P_{b c} P_{c a}, \triangle P_{a b} P_{b d} P_{d a} , \triangle P_{a c} P_{c d} P_{d a}, \triangle P_{b c} P_{c d} P_{d b}$ 的外接圆分别为 $\Gamma_a^\prime,\Gamma_b^\prime,\Gamma_c^\prime,\Gamma_d^\prime$，结合密克定理，知其交于一点 $P^\prime$．从而，点 $P^\prime$ 在球面 $S$ 上．
注意到，过点 $D^\prime$ 作球面 $S$ 的全体切线，其切点所构成的集合就是圆 $\Gamma_b^\prime$，故 $D^\prime P^\prime$ 与球面 $S$ 相切，且 $D^\prime$ 位于球面 $S$ 在点 $P^\prime$ 处的切平面上．
类似地，$A^\prime、B^\prime,C^\prime$ 也均位于球面 $S$ 在点 $P^\prime$ 处的切平面上．
这表明，$A^\prime、B^\prime、C^\prime、D^\prime$ 四点共面，且该平面与球面 $S$ 相切．
答案
解析
备注
