如图，圆 $\Gamma,\Gamma^\prime$ 交于 $A,B$ 两点．
圆 $\Gamma$ 在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma^\prime$ 的另一个交点为 $C$，圆 $\Gamma^\prime$ 在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma$ 的另一个交点为 $D$，线段 $CD$ 与两圆分别交于点 $E,F$．过点 $E$ 作 $AC$ 的垂线，与圆 $\Gamma^\prime$ 交于点 $P$；过点 $F$ 作 $AD$ 的垂线，与圆 $\Gamma$ 交于点 $Q$（点 $A,P,Q$ 在直线 $CD$ 的同侧）．证明：$A,P,Q$ 三点共线．
圆 $\Gamma$ 在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma^\prime$ 的另一个交点为 $C$，圆 $\Gamma^\prime$ 在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma$ 的另一个交点为 $D$，线段 $CD$ 与两圆分别交于点 $E,F$．过点 $E$ 作 $AC$ 的垂线，与圆 $\Gamma^\prime$ 交于点 $P$；过点 $F$ 作 $AD$ 的垂线，与圆 $\Gamma$ 交于点 $Q$（点 $A,P,Q$ 在直线 $CD$ 的同侧）．证明：$A,P,Q$ 三点共线．【难度】
【出处】
2016年第三届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到 $\angle AFC=\angle AED= 180^\circ-\angle CAD\Rightarrow \angle AFD= 180^\circ -\angle AFC = 180^\circ-\angle AED =\angle AQD$．
于是，点 $Q,F$ 关于直线 $AD$ 对称．
类似地，点 $P,E$ 关于直线 $AD$ 对称．
结合弦切角定理有 $\angle DAQ=\angle DAF=\angle ACD,\angle CAP=\angle CAE=\angle CDA$．
则 $\angle DAQ+\angle CAD+\angle CAP=\angle ACD+\angle CAD+\angle CDA=180^\circ$．
从而，$A,P,Q$ 三点共线．
于是，点 $Q,F$ 关于直线 $AD$ 对称．
类似地，点 $P,E$ 关于直线 $AD$ 对称．
结合弦切角定理有 $\angle DAQ=\angle DAF=\angle ACD,\angle CAP=\angle CAE=\angle CDA$．
则 $\angle DAQ+\angle CAD+\angle CAP=\angle ACD+\angle CAD+\angle CDA=180^\circ$．
从而，$A,P,Q$ 三点共线．
答案
解析
备注
