已知平面上有六个半径不小于 $1$ 的圆，它们两两不相交．证明：若某个圆与这六 个圆均相交，则该圆的半径不小于 $1$．
【难度】
【出处】
2017年第四届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
设题述六个圆的圆心为 $O_1 , O_2 ,\cdots,O_6$，半径分别为 $R_1 ,R_2,\cdots ,R_6$．
设 $\odot O$ 的半径为 $R$，且与这六个圆均相交．显然，存在下标 $i、j$，使得 $\angle O_iOO_j\leqslant 60^\circ$．
由条件知 $O_{i} O_{j} \geqslant R_{i}+R_{j}, O O_{i}<R_{i}+R, O O_{j}<R_{j}+R$．
若 $R < 1$，注意到 $R_i,R_j \ge1$，则 $O_iO_j $，为唯一交点．$ \triangle O_iOO_j $ 唯一的最长边．
故 $ \angle O_iOO_j >60^\circ $，与假设矛盾．
因此，$ R\geqslant 1$．
设 $\odot O$ 的半径为 $R$，且与这六个圆均相交．显然，存在下标 $i、j$，使得 $\angle O_iOO_j\leqslant 60^\circ$．
由条件知 $O_{i} O_{j} \geqslant R_{i}+R_{j}, O O_{i}<R_{i}+R, O O_{j}<R_{j}+R$．
若 $R < 1$，注意到 $R_i,R_j \ge1$，则 $O_iO_j $，为唯一交点．$ \triangle O_iOO_j $ 唯一的最长边．
故 $ \angle O_iOO_j >60^\circ $，与假设矛盾．
因此，$ R\geqslant 1$．
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备注
