如图，梯形 $ABCD$ 中，$B$、$D$ 关于对角线 $AC$ 对称的点分别是 $B'$、$D'$，$A$、$C$ 关于对角线 $BD$ 对称的点分别是 $A'$、$C'$．证明：四边形 $A'B'C'D'$ 是梯形．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江苏复赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，$B$、$D$ 关于对角线 $AC$ 对称的点分别是 $B',D'$，则 $BD$ 与 $B'D'$ 交于 $BD$ 和 $AC$ 的交点 $O$．由对称得 $BB'\parallel DD'$，所以 $\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OB'}{OD'}$．又 $A,C$ 关于对角线 $BD$ 对称的点分别是 $A',C'$，同理得 $\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OC'}{OA'}$．
因为梯形中 $BC\parallel AD$，则\[\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{BC}{AD}\ne 1,\]所以\[\dfrac{OB'}{OD'}=\dfrac{OC'}{OA'}\ne 1.\]所以 $B'C'\parallel A'D'$，且 $B'C'\ne A'D'$，所以四边形 $A'B'C'D'$ 是梯形．
因为梯形中 $BC\parallel AD$，则\[\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{BC}{AD}\ne 1,\]所以\[\dfrac{OB'}{OD'}=\dfrac{OC'}{OA'}\ne 1.\]所以 $B'C'\parallel A'D'$，且 $B'C'\ne A'D'$，所以四边形 $A'B'C'D'$ 是梯形．
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