题目 某同学用“五点法”画函数 $f\left(x\right)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)\left(\omega>0,{\left|{\varphi}\right|}<\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>\omega x+\varphi & 0 & \dfrac{\mathrm \pi} 2 & {\mathrm \pi} & \dfrac{3{\mathrm \pi} }2 & 2{\mathrm \pi} \\ \hline<br/>x & & \dfrac{\mathrm \pi} 3 & &\dfrac{5{\mathrm \pi} }6 & \\ \hline<br/>A\sin\left(\omega x+\varphi\right) & 0 & 5 & & -5 & 0 \\ \hline<br/>\end{array} \] 问题1 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f\left(x\right)$ 的解析式； 答案1 $f\left(x\right)=5\sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)$ 解析1 利用正弦型函数的性质得到 $A$、$\omega$、$\varphi$ 的值，然后利用五点作图法补全表格即可．根据表中已知数据，解得 $A=5$，$\omega=2$，$\varphi=-\dfrac{\mathrm \pi} 6$，数据补全如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>\omega x+\varphi & 0 & \dfrac{\mathrm \pi} 2 & {\mathrm \pi} & \dfrac{3{\mathrm \pi} }2 & 2{\mathrm \pi} \\ \hline<br/>x &\dfrac{\mathrm \pi} {12} & \dfrac{\mathrm \pi} 3 & \dfrac{7{\mathrm \pi} }{12} &\dfrac{5{\mathrm \pi} }6 &\dfrac{13}{12}{\mathrm \pi} \\ \hline<br/>A\sin\left(\omega x+\varphi\right) & 0 & 5 & 0 & -5 & 0 \\ \hline<br/>\end{array} \]且函数解析式为 $f\left(x\right)=5\sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)$． 备注1 问题2 将 $y=f\left(x\right)$ 图象上所有点向左平行移动 $\theta\left(\theta>0\right)$ 个单位长度，得到 $y=g\left(x\right)$ 的图象．若 $y=g\left(x\right)$ 图象的一个对称中心为 $\left(\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12},0\right)$，求 $\theta$ 的最小值． 答案2 $\theta$ 的最小值为 $\dfrac{\mathrm \pi} 6$． 解析2 本题考查三角函数的图象变换与性质．由（1）知\[f\left(x\right)=5\sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6\right),\]则 $g\left(x\right)$ 的解析式为\[g\left(x\right)=5\sin\left(2x+2\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 6\right).\]因为函数 $y=\sin x$ 图象的对称中心为\[\left(k{\mathrm \pi} ,0\right) ,k\in{\mathbb{Z}}.\]令\[2x+2\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 6=k{\mathrm \pi} ,\]解得 $x=\dfrac{k{\mathrm \pi} }2+\dfrac{\mathrm \pi} {12}-\theta$，$k\in{\mathbb{Z}}$．<br/>由于函数 $y=g\left(x\right)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12},0\right)$ 成中心对称，所以令\[\dfrac{k{\mathrm \pi} }2+\dfrac{\mathrm \pi} {12}-\theta=\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12},\]解得\[\theta=\dfrac{k{\mathrm \pi} }2-\dfrac{\mathrm \pi} {3}, k\in{\mathbb{Z}}.\]由 $\theta>0$ 可知，当 $k=1$ 时，$\theta$ 取得最小值 $\dfrac{\mathrm \pi} 6$． 备注2