题目 设函数 $f(x)=\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi}{2}\right)$，其中 $0<\omega <3$．已知 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$． 问题1 求 $\omega$； 答案1 $2$ 解析1 因为 $f(x)=\sin \left(\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\omega x-\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以\[\begin{split}f(x)&=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin \omega x-\dfrac{1}{2}\cos\omega x-\cos \omega x\\&=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin \omega x-\dfrac{3}{2}\cos\omega x \\&\overset{[a]}=\sqrt 3\sin \left(\omega x-\dfrac{\pi}{3}\right)\end{split}\]（推导中用到：[a]）<br/>由题设知 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$，所以\[\dfrac{\omega x}{6}-\dfrac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbb Z.\]故\[\omega =6k+2,k\in\mathbb Z,\]又 $0<\omega <3$，所以 $\omega =2$． 备注1 问题2 将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]$ 上的最小值． 答案2 $-\dfrac{3}{2}$ 解析2 由第（1）小问得 $f(x)=\sqrt 3\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，通过图象的伸缩平移后得到\[g(x)=\sqrt 3\left(x-\dfrac{\pi}{12}\right).\]因为 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]$，所以 $x-\dfrac{\pi}{12}\in \left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]$，所以当 $x-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}$，即 $x=-\dfrac{\pi}{4}$ 时，$g(x)$ 取得最小值为 $-\dfrac{3}{2}$． 备注2