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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18204 5d9d737a210b28270fa5d373 高中 解答题 自招竞赛 给定正实数 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$．证明：存在正实数 $x_1 , x_2 , \ldots, x_n$，满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}=1$，且对任何满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}=1$ 的正实数 $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$，均有 $\displaystyle
\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{a_{i} x_{i}}{x_{i}+y_{i}} \geqslant \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} a_{i}
$．		 2022-04-17 19:16:39
18200 5c877fc6210b284290fc2d0b 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${x}_{i},{y}_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 是实数，且 ${x}_{1}≥{x}_{2}≥\cdots\geqslant {x}_{n}$ 和 ${y}_{1}≥{y}_{2}≥\cdots\geqslant {y}_{n}$．又 ${z}_{1},{z}_{2},\cdots,{z}_{n}$ 为 ${y}_{1},{y}_{2},\cdots,{y}_{n}$ 的任一排列，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-{{y}_{i}})}^{2}}}\leqslant \sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-{{y}_{i}}}{{)}^{2}}$．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:14:39
18178 5c877fe4210b28428f14d7b6 高中 解答题 自招竞赛 试确定满足下述条件的多项式 $P$：
$(a)$ $P$ 是关于 $x,y$ 的 $n$ 次齐次多项式，即对于所有实数 $t,x,y$，有 $P(tx,ty)={t}^{n}P(x,y)$，其中 $n$ 是正整数；
$(b)$ 对于所有的实数 $a,b,c$，有 $P(b + c,a)+ P(c + a,b)+ P(a + b,c)= 0$；
$(c)$ $P(1,0)=1$．（英国）		 2022-04-17 19:01:39
18165 5c8864c6210b28319abba5a0 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c、d$ 是任意正实数，求和数 $S=\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}$ 的取值范围．（荷兰） 2022-04-17 19:55:38
18164 5c8864ce210b28319abba5a5 高中 解答题 自招竞赛 设 $p(x)$ 是一整系数多项式，并且不是常数．又已知有 $n(p)$ 个整数 $k$，使得 $[p(k)]^{2}=1$．试证：$n(p)-\text{deg}(p)\leqslant 2$，这里，$\text{deg}(p)$ 表示多项式 $p(x)$ 的次数．（瑞典） 2022-04-17 19:55:38
18157 5c8868a0210b28319abba5c4 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 是实数，且 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+ax+1=0$ 至少有一个实根，求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ 的最小值．（瑞典） 2022-04-17 19:50:38
18154 5c8868ae210b28319b6ddc79 高中 解答题 自招竞赛 给定一个形如 $f(x)=ax+b$ 的非常数函数所组成的非空集 $G$，这里 $a,b$ 是实数，且 $a\ne 0$，$x$ 是实变数．若 $G$ 有如下性质：
（1）若 $f,g\in G$，则 $g\circ f\in G$，其中定义 $(g\circ f)(x)=g[ f(x) ]$；
（2若 $f\in G$，且 $f(x)=ax+b$，则反函数 $f^{-1}$ 也属于 $G$，这里 ${{f}^{-1}}(x)=\dfrac{x-b}{a}$；
（3）对每一个 $f\in G$，有一个 $x_f$，使 $f({x}_{f})={x}_{f}$．
求证：总有一个 $k$，使对所有的 $f\in G$，有 $f(k)=k$．（波兰）		 2022-04-17 19:49:38
18153 5c8868b3210b28319abba5d1 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n$ 个正数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$ 和实数 $q(0<q<1)$．试给出 $n$ 个实数 ${b}_{1},{b}_{2},\cdots,{b}_{n}$，使得
（$a$）对所有的正整数 $k(1\leqslant k\leqslant n)$，有 ${a}_{k}<{b}_{k}$；
（$b$）对所有的正整数 $k(1\leqslant k\leqslant n-1)$，有 $q<\dfrac{{{b}_{k+1}}}{{{b}_{k}}}<\dfrac{1}{q}$；
（$c$）${{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots+{{b}_{n}}<\dfrac{1+q}{1-q}({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{n}})$．（瑞典）		 2022-04-17 19:48:38
18148 5c886b43210b28319b6ddc91 高中 解答题 自招竞赛 确定所有能使
$\begin{aligned}
& (x_{1}^{2}-{{x}_{3}}{{x}_{5}})(x_{2}^{2}-{{x}_{3}}{{x}_{5}})\leqslant 0 \\
& (x_{2}^{2}-{{x}_{4}}{{x}_{1}})(x_{3}^{2}-{{x}_{4}}{{x}_{1}})\leqslant 0 \\
& (x_{3}^{2}-{{x}_{5}}{{x}_{2}})(x_{4}^{2}-{{x}_{5}}{{x}_{2}})\leqslant 0 \\
& (x_{4}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{3}})(x_{5}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{3}})\leqslant 0 \\
& (x_{5}^{2}-{{x}_{2}}{{x}_{4}})(x_{1}^{2}-{{x}_{2}}{{x}_{4}})\leqslant 0 \\
\end{aligned}$
成立的所有解 $({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4},{x}_{5})$，其中 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4},{x}_{5}$ 都是正实数．（荷兰）		 2022-04-17 19:46:38
18145 5c886b4b210b28319abba5e4 高中 解答题 自招竞赛 设 $f$ 和 $g$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的实函数，而且对于所有的 $x$ 和 $y$ 满足方程：$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$．
求证：若 $f(x)$ 不恒为零，且 $\left| f(x) \right|\leqslant 1$ 对所有 $x$ 都成立，则有 $\left| g(y) \right|\leqslant 1$ 对所有 $y$ 都成立．（保加利亚）		 2022-04-17 19:45:38
18142 5c886d2e210b28319b6ddc9a 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个大于 $2$ 的正整数，求证：当且仅当 $n=3$ 或 $n=5$ 时，对于任意实数
${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$，下面的不等式成立：$({a}_{1}-{a}_{2})({a}_{1}-{a}_{3})\cdots({a}_{1}-{a}_{n})+({a}_{2}-{a}_{1})({a}_{2}-{a}_{3})\cdots({a}_{2}-{a}_{n})+\cdots+({a}_{n}-{a}_{1})({a}_{n}-{a}_{2})\cdots({a}_{n}-{a}_{n-1})\geqslant 0.$
（匈牙利）		 2022-04-17 19:44:38
18123 5c8874fc210b28319abba615 高中 解答题 自招竞赛 设 $\{{a}_{n}\}$ 是具有下列性质的实数列：
$1={a}_{0}\leqslant {a}_{1}\leqslant {a}_{2}\leqslant \cdots\leqslant {a}_{n}\leqslant \cdots$ ①
而 $\{{b}_{n}\}$ 是由下式定义的实数列：$\displaystyle {{b}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}(n=1,2,3,\cdots)$．②
求证：（$a$）$0\leqslant {b}_{n}<2(n=1,2,3,\cdots)$；
（$b$）对满足 $0\leqslant c<2$ 的任意实数 $c$，总存在一个满足条件 ① 的数列 $\{a_n\}$，使得由 ② 导出的数列 $\{b_n\}$ 中，有无穷多个下标 $n$ 使 ${b}_{n}>c$．（瑞典）		 2022-04-17 19:33:38
18118 5c88784f210b28319abba625 高中 解答题 自招竞赛 设 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$ 都是实常数，$x$ 是一个实变量，且
$f(x)=\cos ({{a}_{1}}+x)+\dfrac{\cos ({{a}_{2}}+x)}{2}+\dfrac{\cos ({{a}_{3}}+x)}{{{2}^{2}}}+...+\dfrac{\cos ({{a}_{n}}+x)}{{{2}^{n-1}}}$．求证：若 $f({x}_{1})=f({x}_{2})=0$，则恒有 ${x}_{2}-{x}_{1}=m\pi$，其中 $m$ 是整数．（匈牙利）		 2022-04-17 19:30:38
18114 5c887866210b28319b6ddcdb 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于所有满足条件：${x}_{1}>0,{x}_{2}>0$，${{x}_{1}}{{y}_{1}}-z_{1}^{2}>0$，${{x}_{2}}{{y}_{2}}-z_{2}^{2}>0$ 的实数 $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$，有不等式 $\dfrac{8}{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})({{y}_{1}}+{{y}_{2}})-{{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}}\leqslant \dfrac{1}{{{x}_{1}}{{y}_{1}}-z_{1}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}{{y}_{2}}-z_{2}^{2}}$ 成立，并且给出等号成立的充要条件．（苏联） 2022-04-17 19:28:38
18111 5c887b8e210b28319abba647 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c$ 是实数，并且 $a\not=0$．现有关于未知数 ${x}_{1}、{x}_{2}、\cdots、{x}_{n}$ 的方程组
$\begin{cases}
ax_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c={{x}_{2}} \\
ax_{2}^{2}+b{{x}_{2}}+c={{x}_{3}} \\
\cdots\cdots \\
ax_{n-1}^{2}+b{{x}_{n-1}}+c={{x}_{n}} \\
ax_{n}^{2}+b{{x}_{n}}+c={{x}_{1}} \\
\end{cases}$
并设 $\Delta={(b-1)}^{2}-4ac$．求证：在实数范围内有
（$a$）当 $\Delta<0$ 时，方程组无解；
（$b$）当 $\Delta=0$ 时，方程组只有一组解；
（$c$）当 $\Delta>0$ 时，方程组有多于一组解．（保加利亚）		 2022-04-17 19:27:38
18109 5c887b9b210b28319abba653 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$ 是实数，$f(x)$ 是定义在全体实数集上的一个实函数，并且对每一实数 $x$ 满足条件：$f(x+a)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{{\left| f(x) \right|}^{2}}}$．
（$a$）求证：函数 $f(x)$ 是周期函数，即存在一个实数 $b>0$，使得对每一个 $x$ 都有 $f(x+b)=f(x)$）；
（$b$）就 $a=1$，举出一个这种函数 $f(x)$ 的例子，但是 $f(x)$ 不能是常数．（民主德国）		 2022-04-17 19:26:38
18100 5c88913b210b286d0745402a 高中 解答题 自招竞赛 已知一个三角形的三条边长 $a、b、c$ 与各边的对角 $\angle A,\angle B,\angle C$ 满足关系 $a+b=\tan \dfrac{C }{2}(a\tan A +b\tan B )$．求证：这个三角形是等腰三角形．（匈牙利） 2022-04-17 19:21:38
18099 5c889145210b286d125ef190 高中 解答题 自招竞赛 证明恒等式：$\dfrac{1}{\sin 2x}+\dfrac{1}{\sin 4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin {{2}^{n}}x}=\cot x-\cot {{2}^{n}}x$，其中 $n$ 为任一正整数，$x\ne \dfrac{\lambda\pi }{{{2}^{k}}}$（$k=0,1,\cdots,n;\lambda$ 是任一整数）．（南斯拉夫） 2022-04-17 19:21:38
18098 5c88914b210b286d125ef196 高中 解答题 自招竞赛 解方程组：
$\begin{matrix}
\left| {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right|{{x}_{2}}+\left| {{a}_{1}}-{{a}_{3}} \right|{{x}_{3}}+\left| {{a}_{1}}-{{a}_{4}} \right|{{x}_{4}}=1 \\
\left| {{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right|{{x}_{1}}+\left| {{a}_{2}}-{{a}_{3}} \right|{{x}_{3}}+\left| {{a}_{2}}-{{a}_{4}} \right|{{x}_{4}}=1 \\
\left| {{a}_{3}}-{{a}_{1}} \right|{{x}_{1}}+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{2}} \right|{{x}_{2}}+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{4}} \right|{{x}_{4}}=1 \\
\left| {{a}_{4}}-{{a}_{1}} \right|{{x}_{1}}+\left| {{a}_{4}}-{{a}_{2}} \right|{{x}_{2}}+\left| {{a}_{4}}-{{a}_{3}} \right|{{x}_{3}}=1 \\
\end{matrix}$
其中 ${a}_{1}、{a}_{2}、{a}_{3}、{a}_{4}$ 是已知的两两不等的实数．（捷克斯洛伐克）		 2022-04-17 19:21:38
18095 5c889559210b286d07454039 高中 解答题 自招竞赛 求在区间 $x(0\leqslant x\leqslant 2\pi)$ 中，所有能使不等式 $2\cos x\leqslant |\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}|\leqslant \sqrt{2}$ 成立的实数 $x$．（南斯拉夫） 2022-04-17 19:19:38
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