设 $a、b、c、d$ 是任意正实数，求和数 $S=\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}$ 的取值范围．（荷兰）
【难度】
【出处】
1974年第16届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}=1$
$\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}<\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c+d}=1$
所以 $S<2$．
又 $S>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=1$，所以 $1<S<2$．
对于区间 $(1,2)$ 内的任意一个值 $1+t(0<t<1)$，令 $a=c=1$，则 $S=1+t$，只需 $\dfrac{2}{1+b+d}-\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{d}{d+2}=t$．
取 $b$ 足够小，使得 $\dfrac{2}{(b+1)(b+2)}>t>\dfrac{b}{b+2}$，则 $d$ 的二次函数 $f(d)=(1+b+d)(d+2)\left(\dfrac{2}{1+b+d}-\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{d}{d+2}-t\right)$ 的值 $f(0)=2\left[\dfrac{b}{b+2}-t(b+1)\right]>0$，在 $d\rightarrow +\infty$ 时为负，因此必有 $d$，使得 $f(d)=0$，即有 $b,d$ 使 ① 成立．
于是 $S$ 的取值范围为开区间 $(1,2)$．
$\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}<\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c+d}=1$
所以 $S<2$．
又 $S>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=1$，所以 $1<S<2$．
对于区间 $(1,2)$ 内的任意一个值 $1+t(0<t<1)$，令 $a=c=1$，则 $S=1+t$，只需 $\dfrac{2}{1+b+d}-\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{d}{d+2}=t$．
取 $b$ 足够小，使得 $\dfrac{2}{(b+1)(b+2)}>t>\dfrac{b}{b+2}$，则 $d$ 的二次函数 $f(d)=(1+b+d)(d+2)\left(\dfrac{2}{1+b+d}-\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{d}{d+2}-t\right)$ 的值 $f(0)=2\left[\dfrac{b}{b+2}-t(b+1)\right]>0$，在 $d\rightarrow +\infty$ 时为负，因此必有 $d$，使得 $f(d)=0$，即有 $b,d$ 使 ① 成立．
于是 $S$ 的取值范围为开区间 $(1,2)$．
答案
解析
备注
