已知一个三角形的三条边长 $a、b、c$ 与各边的对角 $\angle A,\angle B,\angle C$ 满足关系 $a+b=\tan \dfrac{C }{2}(a\tan A +b\tan B )$．求证：这个三角形是等腰三角形．（匈牙利）
【难度】
【出处】
1966年第08届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
把原关系改写为 $a+b=\dfrac{\sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{C}{2}}\left(a\dfrac{\sin A}{\cos A}+b\dfrac{\sin B}{\cos B}\right)$
去分母，得 $(a+b)\cos A\cos B\cos\dfrac{C}{2}=a\sin A\cos B\sin\dfrac{C}{2}+b\sin B\cos A\sin\dfrac{C}{2}$，
由正弦定理知，上式的 $a,b$ 分别可以用 $\sin A,\sin B$ 替代．今代入并移项，得 $\sin A\cos B\left(\cos A\cos\dfrac{C}{2}-\sin A\sin\dfrac{C}{2}\right)=\sin B\cos A\left(\sin B\sin\dfrac{C}{2}-\cos B\cos\dfrac{C}{2}\right)$
此即
$\begin{aligned}
\sin A\cos B\cos \left(A+\dfrac{C}{2}\right)&=-\sin B\cos A\cos \left(B+\dfrac{C}{2}\right)\\
&=\sin B\cos A\cos\left (\pi-B-\dfrac{C}{2}\right)\\
&=\sin B\cos A\cos \left(A+\dfrac{C}{2}\right)
\end{aligned}$
若 $\angle A+\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{\pi}{2}$，则 $\angle B+\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{\pi}{2}$，于是 $\angle A=\angle B$．
若 $\angle A+\dfrac{\angle C}{2}\ne \dfrac{\pi}{2}$，两边除去 $\left(A+\dfrac{C}{2}\right)$，并整理，得 $\tan A=\tan B$，仍有 $\angle A=\angle B$．
综上所述，总有 $\angle A=\angle B$，即 $\triangle ABC$ 是等腰三角形．
证法二
将原关系式中的 $C$ 用 $\pi-A-B$ 替代，有 $a+b=\cot\dfrac{A+B}{2}(a\tan A+b\tan B)$，
或 $(a+b)\tan\dfrac{A+B}{2}=a\tan A+b\tan B$，
即 $a\left(\tan\dfrac{A+B}{2}-\tan A\right)=b\left(\tan B-\tan\dfrac{A+B}{2}\right)$
或 $a\dfrac{\sin\left(\frac{A+B}{2}-A\right)}{\cos\frac{A+B}{2}\cos A}=b\dfrac{\sin\left(B-\frac{A+B}{2}\right)}{\cos\frac{A+B}{2}\cos B}$
化简得 $\left(\dfrac{a}{\cos A}-\dfrac{b}{\cos B}\right)\cdot \sin\dfrac{B-A}{2}=0$．
下面的讨论是显然的，此处略．
把原关系改写为 $a+b=\dfrac{\sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{C}{2}}\left(a\dfrac{\sin A}{\cos A}+b\dfrac{\sin B}{\cos B}\right)$
去分母，得 $(a+b)\cos A\cos B\cos\dfrac{C}{2}=a\sin A\cos B\sin\dfrac{C}{2}+b\sin B\cos A\sin\dfrac{C}{2}$，
由正弦定理知，上式的 $a,b$ 分别可以用 $\sin A,\sin B$ 替代．今代入并移项，得 $\sin A\cos B\left(\cos A\cos\dfrac{C}{2}-\sin A\sin\dfrac{C}{2}\right)=\sin B\cos A\left(\sin B\sin\dfrac{C}{2}-\cos B\cos\dfrac{C}{2}\right)$
此即
$\begin{aligned}
\sin A\cos B\cos \left(A+\dfrac{C}{2}\right)&=-\sin B\cos A\cos \left(B+\dfrac{C}{2}\right)\\
&=\sin B\cos A\cos\left (\pi-B-\dfrac{C}{2}\right)\\
&=\sin B\cos A\cos \left(A+\dfrac{C}{2}\right)
\end{aligned}$
若 $\angle A+\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{\pi}{2}$，则 $\angle B+\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{\pi}{2}$，于是 $\angle A=\angle B$．
若 $\angle A+\dfrac{\angle C}{2}\ne \dfrac{\pi}{2}$，两边除去 $\left(A+\dfrac{C}{2}\right)$，并整理，得 $\tan A=\tan B$，仍有 $\angle A=\angle B$．
综上所述，总有 $\angle A=\angle B$，即 $\triangle ABC$ 是等腰三角形．
证法二
将原关系式中的 $C$ 用 $\pi-A-B$ 替代，有 $a+b=\cot\dfrac{A+B}{2}(a\tan A+b\tan B)$，
或 $(a+b)\tan\dfrac{A+B}{2}=a\tan A+b\tan B$，
即 $a\left(\tan\dfrac{A+B}{2}-\tan A\right)=b\left(\tan B-\tan\dfrac{A+B}{2}\right)$
或 $a\dfrac{\sin\left(\frac{A+B}{2}-A\right)}{\cos\frac{A+B}{2}\cos A}=b\dfrac{\sin\left(B-\frac{A+B}{2}\right)}{\cos\frac{A+B}{2}\cos B}$
化简得 $\left(\dfrac{a}{\cos A}-\dfrac{b}{\cos B}\right)\cdot \sin\dfrac{B-A}{2}=0$．
下面的讨论是显然的，此处略．
答案
解析
备注
