已知 ${x}_{i},{y}_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 是实数，且 ${x}_{1}≥{x}_{2}≥\cdots\geqslant {x}_{n}$ 和 ${y}_{1}≥{y}_{2}≥\cdots\geqslant {y}_{n}$．又 ${z}_{1},{z}_{2},\cdots,{z}_{n}$ 为 ${y}_{1},{y}_{2},\cdots,{y}_{n}$ 的任一排列，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-{{y}_{i}})}^{2}}}\leqslant \sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-{{y}_{i}}}{{)}^{2}}$．（捷克斯洛伐克）
【难度】
【出处】
1975年第17届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由排序不等式，知 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\geqslant\sum_{i=1}^nx_iz_i$，所以
$\displaystyle \begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2-\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2\\
&=2\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iz_i-\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)\\
&\leqslant 0
\end{aligned}$
故 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\leqslant \sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2$．
$\displaystyle \begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2-\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2\\
&=2\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iz_i-\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)\\
&\leqslant 0
\end{aligned}$
故 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\leqslant \sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2$．
答案
解析
备注
