设 $p(x)$ 是一整系数多项式，并且不是常数．又已知有 $n(p)$ 个整数 $k$，使得 $[p(k)]^{2}=1$．试证：$n(p)-\text{deg}(p)\leqslant 2$，这里，$\text{deg}(p)$ 表示多项式 $p(x)$ 的次数．（瑞典）
【难度】
【出处】
1974年第16届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于 $(p(x))^2-1=(p(x)-1)(p(x)+1),[p(x)]^2=1$ 的整根都是 $p(x)=1$ 或 $p(x)=-1$ 的整根．
下面证明 $p(x)=1$ 或 $-1$ 中必有一者的整根数 $\leqslant 2$，由代替基本定理另一方程的整根数 $\leqslant \text{deg}(p)$，这就证明了结论．
用反证法，假定多项式 $p(x)-1=0$ 和 $p(x)+1=0$ 各有不少于三个不同的整根，且彼此相异，在这 $6$ 个整数中，记最小的一个为 $a$．
不失一般性，设 $a$ 是 $p(x)+1=0$ 的根，则 $p(x)+1=(x-a)Q(x)$，$Q(x)$ 是一整系数多项式．
设 $b,c,d$ 为多项式 $p(x)-1$ 的三个不同的整根，它们均大于 $a$，由于 $p(x)-1=(x-a)Q(x)-2$，故 $2=(b-a)Q(b)=(c-a)Q(c)=(d-a)Q(d)$，其中 $b-a,c-a,d-a$ 是三个不同的正整数，显然它们之中至少有一数大于 $2$，该数不可能是 $2$ 的因子．矛盾．
证法二
首先证明一个引理．
引理：设 $m$ 为整系数多项式 $F(x)$ 的一个整数零点，则多项式 $F(x)+p$ 或 $F(x)-p$ 的整数零点只可能是 $m-p,m-1,m+1,m+p$．其中 $p$ 是一素数．
证明：设 $F(x)=(x-m)G(x)$，于是 $F(x)\pm p=(x-m)G(x)\pm p$，其中 $G$ 是一整系数多项式．
若对某一整数 $x_0$，有 $F(x_0)\pm p=0$，即 $(x_0-m)G(x_0)=\mp p$．
于是 $x_0-m$ 整除 $p$，又因 $p$ 的除数只有 $\pm 1$ 和 $\pm p$，有 $x_0-m\pm 1$ 或 $\pm p$．因此 $x_0=m\pm 1$ 或 $m\pm p$．引理得证．
下面运用引理证明之．假设 $(p(x)-1)(p(x)+1)$ 有整数零点，设 $m$ 为其最小的一个，并不妨设其为 $p(x)-1$ 的零点．由于 $p(x)+1=p(x)-1+2$，此处 $p=2$．由此可知 $p(x)+1$ 的整数零点只可能有两个：$m+1$ 和 $m+2$．以下略．
下面证明 $p(x)=1$ 或 $-1$ 中必有一者的整根数 $\leqslant 2$，由代替基本定理另一方程的整根数 $\leqslant \text{deg}(p)$，这就证明了结论．
用反证法，假定多项式 $p(x)-1=0$ 和 $p(x)+1=0$ 各有不少于三个不同的整根，且彼此相异，在这 $6$ 个整数中，记最小的一个为 $a$．
不失一般性，设 $a$ 是 $p(x)+1=0$ 的根，则 $p(x)+1=(x-a)Q(x)$，$Q(x)$ 是一整系数多项式．
设 $b,c,d$ 为多项式 $p(x)-1$ 的三个不同的整根，它们均大于 $a$，由于 $p(x)-1=(x-a)Q(x)-2$，故 $2=(b-a)Q(b)=(c-a)Q(c)=(d-a)Q(d)$，其中 $b-a,c-a,d-a$ 是三个不同的正整数，显然它们之中至少有一数大于 $2$，该数不可能是 $2$ 的因子．矛盾．
证法二
首先证明一个引理．
引理：设 $m$ 为整系数多项式 $F(x)$ 的一个整数零点，则多项式 $F(x)+p$ 或 $F(x)-p$ 的整数零点只可能是 $m-p,m-1,m+1,m+p$．其中 $p$ 是一素数．
证明：设 $F(x)=(x-m)G(x)$，于是 $F(x)\pm p=(x-m)G(x)\pm p$，其中 $G$ 是一整系数多项式．
若对某一整数 $x_0$，有 $F(x_0)\pm p=0$，即 $(x_0-m)G(x_0)=\mp p$．
于是 $x_0-m$ 整除 $p$，又因 $p$ 的除数只有 $\pm 1$ 和 $\pm p$，有 $x_0-m\pm 1$ 或 $\pm p$．因此 $x_0=m\pm 1$ 或 $m\pm p$．引理得证．
下面运用引理证明之．假设 $(p(x)-1)(p(x)+1)$ 有整数零点，设 $m$ 为其最小的一个，并不妨设其为 $p(x)-1$ 的零点．由于 $p(x)+1=p(x)-1+2$，此处 $p=2$．由此可知 $p(x)+1$ 的整数零点只可能有两个：$m+1$ 和 $m+2$．以下略．
答案
解析
备注
