证明恒等式：$\dfrac{1}{\sin 2x}+\dfrac{1}{\sin 4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin {{2}^{n}}x}=\cot x-\cot {{2}^{n}}x$，其中 $n$ 为任一正整数，$x\ne \dfrac{\lambda\pi }{{{2}^{k}}}$（$k=0,1,\cdots,n;\lambda$ 是任一整数）．（南斯拉夫）
【难度】
【出处】
1966年第08届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
用数学归纳法．
当 $x\ne \dfrac{\lambda\pi }{{{2}^{k}}}$ 时，$\cot 2^kx$ 有意义．
当 $n=1$ 时，"恒等式"右边
$\begin{aligned}
\cot x-\cot 2x&=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\\
&=\dfrac{\sin 2x\cos x-\cos x\sin x}{\sin x\sin 2x}\\
&=\dfrac{\sin x}{\sin x\sin 2x}\\
&=\dfrac{1}{\sin 2x}
\end{aligned}$
故等式成立．
假定原"恒等式"对 $n$ 时成立，则当 $n+1$ 时，$\dfrac{1}{\sin 2x}+\dfrac{1}{\sin 4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin 2^nx}+\dfrac{1}{\sin 2^{n+1}x}=\cot x-\cot 2^n x+\dfrac{1}{\sin 2^{n+1}x}$
由前易知 $\dfrac{1}{\sin 2^{n+1}x}=\cot 2^nx-\cot 2^{n+1}x$．
代入即可得证．
证法二
由恒等式 $\cot \theta-\cot 2\theta=\dfrac{1}{\sin 2\theta}$，反复利用，便得
$\begin{aligned}
&\dfrac{1}{\sin 2x}+\dfrac{1}{\sin 4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin 2^nx}\\
&=(\cot x-\cot 2x)+(\cot 2x-\cot 4x)+\cdots+(\cot 2^{n-1}x-\cot 2^nx)\\
&=\cot x-\cot 2^nx
\end{aligned}$
用数学归纳法．
当 $x\ne \dfrac{\lambda\pi }{{{2}^{k}}}$ 时，$\cot 2^kx$ 有意义．
当 $n=1$ 时，"恒等式"右边
$\begin{aligned}
\cot x-\cot 2x&=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\\
&=\dfrac{\sin 2x\cos x-\cos x\sin x}{\sin x\sin 2x}\\
&=\dfrac{\sin x}{\sin x\sin 2x}\\
&=\dfrac{1}{\sin 2x}
\end{aligned}$
故等式成立．
假定原"恒等式"对 $n$ 时成立，则当 $n+1$ 时，$\dfrac{1}{\sin 2x}+\dfrac{1}{\sin 4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin 2^nx}+\dfrac{1}{\sin 2^{n+1}x}=\cot x-\cot 2^n x+\dfrac{1}{\sin 2^{n+1}x}$
由前易知 $\dfrac{1}{\sin 2^{n+1}x}=\cot 2^nx-\cot 2^{n+1}x$．
代入即可得证．
证法二
由恒等式 $\cot \theta-\cot 2\theta=\dfrac{1}{\sin 2\theta}$，反复利用，便得
$\begin{aligned}
&\dfrac{1}{\sin 2x}+\dfrac{1}{\sin 4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin 2^nx}\\
&=(\cot x-\cot 2x)+(\cot 2x-\cot 4x)+\cdots+(\cot 2^{n-1}x-\cot 2^nx)\\
&=\cot x-\cot 2^nx
\end{aligned}$
答案
解析
备注
