设 $a、b、c$ 是实数，并且 $a\not=0$．现有关于未知数 ${x}_{1}、{x}_{2}、\cdots、{x}_{n}$ 的方程组
$\begin{cases}
ax_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c={{x}_{2}} \\
ax_{2}^{2}+b{{x}_{2}}+c={{x}_{3}} \\
\cdots\cdots \\
ax_{n-1}^{2}+b{{x}_{n-1}}+c={{x}_{n}} \\
ax_{n}^{2}+b{{x}_{n}}+c={{x}_{1}} \\
\end{cases}$
并设 $\Delta={(b-1)}^{2}-4ac$．求证：在实数范围内有
（$a$）当 $\Delta<0$ 时，方程组无解；
（$b$）当 $\Delta=0$ 时，方程组只有一组解；
（$c$）当 $\Delta>0$ 时，方程组有多于一组解．（保加利亚）
$\begin{cases}
ax_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c={{x}_{2}} \\
ax_{2}^{2}+b{{x}_{2}}+c={{x}_{3}} \\
\cdots\cdots \\
ax_{n-1}^{2}+b{{x}_{n-1}}+c={{x}_{n}} \\
ax_{n}^{2}+b{{x}_{n}}+c={{x}_{1}} \\
\end{cases}$
并设 $\Delta={(b-1)}^{2}-4ac$．求证：在实数范围内有
（$a$）当 $\Delta<0$ 时，方程组无解；
（$b$）当 $\Delta=0$ 时，方程组只有一组解；
（$c$）当 $\Delta>0$ 时，方程组有多于一组解．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1968年第10届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑二次函数 $Q(x)=ax^2+(b-1)x+x$．
现将原方程组相加，得 $\displaystyle y\triangleq \sum\limits_{i=1}^n Q(x_i)$．
易知 $Q(x)$ 的判别式是 $\Delta=(b-1)^2-4ac$，它的图像是抛物线．若 $r$ 是 $Q(x)=0$ 的解，易见 $r=x_1=x_2=\cdots=x_n$ 是原方程组的解．
（$a$）若 $\Delta<0$，$Q(x)>0(a>0)$ 或 $Q(x)<0(a<0)$，于是 $y>0(a>0)$ 或 $y<0(a<0)$，不可能有 $y=0$．因此矛盾，原方程组无解．
（$b$）若 $\Delta=0$，$Q(x)\geqslant 0(a>0)$ 或 $Q(x)\leqslant 0(a<0)$，于是 $y\geqslant 0(a>0)$ 或 $y\leqslant 0(a<0)$．今要 $y=0$，只能有 $Q(x_i)=0$，亦即 $x_1=x_2=\cdots=x_n=r$．$r$ 是 $Q(x)=0$ 的唯一根 $\dfrac{1-b}{2a}$．
（$c$）若 $\Delta>0$，则 $Q(x)$ 有两根 $r_1,r_2$．易知此时 $x_1=x_2=\cdots=x_n=r_1$ 与 $x_1=x_2=\cdots=x_n=r_2$ 都满足原方程组．
现将原方程组相加，得 $\displaystyle y\triangleq \sum\limits_{i=1}^n Q(x_i)$．
易知 $Q(x)$ 的判别式是 $\Delta=(b-1)^2-4ac$，它的图像是抛物线．若 $r$ 是 $Q(x)=0$ 的解，易见 $r=x_1=x_2=\cdots=x_n$ 是原方程组的解．
（$a$）若 $\Delta<0$，$Q(x)>0(a>0)$ 或 $Q(x)<0(a<0)$，于是 $y>0(a>0)$ 或 $y<0(a<0)$，不可能有 $y=0$．因此矛盾，原方程组无解．
（$b$）若 $\Delta=0$，$Q(x)\geqslant 0(a>0)$ 或 $Q(x)\leqslant 0(a<0)$，于是 $y\geqslant 0(a>0)$ 或 $y\leqslant 0(a<0)$．今要 $y=0$，只能有 $Q(x_i)=0$，亦即 $x_1=x_2=\cdots=x_n=r$．$r$ 是 $Q(x)=0$ 的唯一根 $\dfrac{1-b}{2a}$．
（$c$）若 $\Delta>0$，则 $Q(x)$ 有两根 $r_1,r_2$．易知此时 $x_1=x_2=\cdots=x_n=r_1$ 与 $x_1=x_2=\cdots=x_n=r_2$ 都满足原方程组．
答案
解析
备注
