已知 $n$ 个正数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$ 和实数 $q(0<q<1)$．试给出 $n$ 个实数 ${b}_{1},{b}_{2},\cdots,{b}_{n}$，使得
（$a$）对所有的正整数 $k(1\leqslant k\leqslant n)$，有 ${a}_{k}<{b}_{k}$；
（$b$）对所有的正整数 $k(1\leqslant k\leqslant n-1)$，有 $q<\dfrac{{{b}_{k+1}}}{{{b}_{k}}}<\dfrac{1}{q}$；
（$c$）${{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots+{{b}_{n}}<\dfrac{1+q}{1-q}({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{n}})$．（瑞典）
（$a$）对所有的正整数 $k(1\leqslant k\leqslant n)$，有 ${a}_{k}<{b}_{k}$；
（$b$）对所有的正整数 $k(1\leqslant k\leqslant n-1)$，有 $q<\dfrac{{{b}_{k+1}}}{{{b}_{k}}}<\dfrac{1}{q}$；
（$c$）${{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots+{{b}_{n}}<\dfrac{1+q}{1-q}({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{n}})$．（瑞典）
【难度】
【出处】
1973年第15届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于 $k=1,2,\cdots,n$，设 $b_k=a_1q^{k-1}+a_2q^{k-2}+\cdots+a_{k-1}q+a_k+a_{k+1}q+\cdots+a_nq^{n-k}$．
（$a$）显然 $b_k>a_k$ 对 $k=1,2,\cdots,n$ 成立；
（$b$）对于 $k=1,2,\cdots,n-1$，有
$qb_k-b_{k+1}=(q^2-1)[a_{k+1}+\cdots+a_nq^{n-k-1}]<0$；
$qb_{k+1}-b_k=(q^2-1)[a_1q^{k-1}+\cdots+a_k]<0$．
此即 $q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac{1}{q}$；
（$c$）
$\begin{aligned}
&b_1+b_2+\cdots+b_n\\
&=a_1+a_2q+\cdots+a_nq^{n-1}+a_1q+a_2+a_3q+\cdots+a_nq^{n-2}\\
&+a_1q^2+a_2q+a_3+\cdots+a_nq^{n-3}+\cdots+a_1q^{n-1}\\
&+a_2q^{n-2}+a_3q^{n-3}+\cdots+a_n\\
&<(a_1+a_2+\cdots+a_n)(1+2q+2q^2+\cdots+2q^{n-1})\\
&=(a_1+a_2+\cdots+a_n)\left(1+2q\dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}\right)\\
&<(a_1+a_2+\cdots+a_n)\left(1+\dfrac{2q}{1-q}\right)\\
&=\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)
\end{aligned}$
故（$c$）得证．
（$a$）显然 $b_k>a_k$ 对 $k=1,2,\cdots,n$ 成立；
（$b$）对于 $k=1,2,\cdots,n-1$，有
$qb_k-b_{k+1}=(q^2-1)[a_{k+1}+\cdots+a_nq^{n-k-1}]<0$；
$qb_{k+1}-b_k=(q^2-1)[a_1q^{k-1}+\cdots+a_k]<0$．
此即 $q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac{1}{q}$；
（$c$）
$\begin{aligned}
&b_1+b_2+\cdots+b_n\\
&=a_1+a_2q+\cdots+a_nq^{n-1}+a_1q+a_2+a_3q+\cdots+a_nq^{n-2}\\
&+a_1q^2+a_2q+a_3+\cdots+a_nq^{n-3}+\cdots+a_1q^{n-1}\\
&+a_2q^{n-2}+a_3q^{n-3}+\cdots+a_n\\
&<(a_1+a_2+\cdots+a_n)(1+2q+2q^2+\cdots+2q^{n-1})\\
&=(a_1+a_2+\cdots+a_n)\left(1+2q\dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}\right)\\
&<(a_1+a_2+\cdots+a_n)\left(1+\dfrac{2q}{1-q}\right)\\
&=\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)
\end{aligned}$
故（$c$）得证．
答案
解析
备注
