求证：对于所有满足条件：${x}_{1}>0,{x}_{2}>0$，${{x}_{1}}{{y}_{1}}-z_{1}^{2}>0$，${{x}_{2}}{{y}_{2}}-z_{2}^{2}>0$ 的实数 $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$，有不等式 $\dfrac{8}{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})({{y}_{1}}+{{y}_{2}})-{{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}}\leqslant \dfrac{1}{{{x}_{1}}{{y}_{1}}-z_{1}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}{{y}_{2}}-z_{2}^{2}}$ 成立，并且给出等号成立的充要条件．（苏联）
【难度】
【出处】
1969年第11届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $x_1y_1z_2^2+x_2y_2z_1^2\geqslant 2z_1z_2\sqrt{x_1x_2y_1y_2}$（由 $x_1y_1>z_1^2\geqslant 0$，及 $x_1>0$ 知 $y_1>0$，同理 $y_2>0$），所以
$\begin{aligned}
&(\sqrt{x_1x_2y_1y_2}-z_1z_2)^2\\
&=x_1x_2y_1y_2+z_1^2z_2^2-2z_1z_2\sqrt{x_1x_2y_1y_2}\\
&\geqslant x_1x_2y_1y_2+z_1^2z_2^2-(x_1y_1z_2^2+x_2y_2z_1^2)\\
&=(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)
\end{aligned}$ ①
$\begin{aligned}
&(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2\\
&=(x_1y_1-z_1^2)+(x_2y_2-z_2^2)+(x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2)\\
&\geqslant (x_1y_1-z_1^2)+(x_2y_2-z_2^2)+2(\sqrt{x_1x_2y_1y_2}-z_1z_2)\\
&=(x_1y_1-z_1^2)+(x_2y_2-z_2^2)+2\sqrt{(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)}(利用了 ① )\\
&\geqslant 4\sqrt{(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)}
\end{aligned}$
于是
$\begin{aligned}
&\dfrac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\\
&\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{(x_1y_1-z_2^2)(x_2y_2-z_1^2)}}\\
&\leqslant \dfrac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\dfrac{1}{x_2y_2-z_2^2}
\end{aligned}$
当且仅当 $x_1=x_2,y_1=y_2,z_1=z_2$ 时，等号成立．
$\begin{aligned}
&(\sqrt{x_1x_2y_1y_2}-z_1z_2)^2\\
&=x_1x_2y_1y_2+z_1^2z_2^2-2z_1z_2\sqrt{x_1x_2y_1y_2}\\
&\geqslant x_1x_2y_1y_2+z_1^2z_2^2-(x_1y_1z_2^2+x_2y_2z_1^2)\\
&=(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)
\end{aligned}$ ①
$\begin{aligned}
&(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2\\
&=(x_1y_1-z_1^2)+(x_2y_2-z_2^2)+(x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2)\\
&\geqslant (x_1y_1-z_1^2)+(x_2y_2-z_2^2)+2(\sqrt{x_1x_2y_1y_2}-z_1z_2)\\
&=(x_1y_1-z_1^2)+(x_2y_2-z_2^2)+2\sqrt{(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)}(利用了 ① )\\
&\geqslant 4\sqrt{(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)}
\end{aligned}$
于是
$\begin{aligned}
&\dfrac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\\
&\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{(x_1y_1-z_2^2)(x_2y_2-z_1^2)}}\\
&\leqslant \dfrac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\dfrac{1}{x_2y_2-z_2^2}
\end{aligned}$
当且仅当 $x_1=x_2,y_1=y_2,z_1=z_2$ 时，等号成立．
答案
解析
备注
