设 $n$ 是一个大于 $2$ 的正整数，求证：当且仅当 $n=3$ 或 $n=5$ 时，对于任意实数
${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$，下面的不等式成立：$({a}_{1}-{a}_{2})({a}_{1}-{a}_{3})\cdots({a}_{1}-{a}_{n})+({a}_{2}-{a}_{1})({a}_{2}-{a}_{3})\cdots({a}_{2}-{a}_{n})+\cdots+({a}_{n}-{a}_{1})({a}_{n}-{a}_{2})\cdots({a}_{n}-{a}_{n-1})\geqslant 0.$
（匈牙利）
${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$，下面的不等式成立：$({a}_{1}-{a}_{2})({a}_{1}-{a}_{3})\cdots({a}_{1}-{a}_{n})+({a}_{2}-{a}_{1})({a}_{2}-{a}_{3})\cdots({a}_{2}-{a}_{n})+\cdots+({a}_{n}-{a}_{1})({a}_{n}-{a}_{2})\cdots({a}_{n}-{a}_{n-1})\geqslant 0.$
（匈牙利）
【难度】
【出处】
1971年第13届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$．用 $A_n$ 表示所给的表达式．
若 $n$ 是偶数，则令 $a_1<a_2=a_3=\cdots=a_n$，此时 $A_n=(-1)^{n-1}(a_2-a-1)^{n-1}<0$，因而不等式不成立．
若 $n=3$，则
$\begin{aligned}
A_3&=(a_1-a_2)(a_1-a_3)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)+(a_3-a_1)(a_3-a_2)\\
&=a_1^2+a_2^2+a_3^2-a_1a_2-a_1a_3-a_2a_3\\
&=\dfrac{1}{2}[(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_1)^2]\\
&\geqslant 0
\end{aligned}$
若 $n=5$，则
$\begin{aligned}
A_5&=(a_1-a_2)(a_1-a_3)(a_1-a_4)(a_1-a_5)\\
&+(a_2-a_1)(a_2-a_3)(a_2-a_4)(a_2-a_5)\\
&+(a_3-a_1)(a_3-a_2)(a_3-a_4)(a_3-a_5)\\
&+(a_4-a_1)(a_4-a_2)(a_4-a_3)(a_4-a_5)\\
&+(a_5-a_1)(a_5-a_2)(a_5-a_3)(a_5-a_4)
\end{aligned}$
前两项的和为 $(a_2-a_1)[(a_3-a_1)(a_4-a_1)(a_5-a_1)-(a_3-a_2)(a_4-a_2)(a_5-a_2)]\geqslant 0$ 后两项的和也不小于 $0$，第三项也不小于 $0$，所以 $A_5\geqslant 0$．
若 $n\geqslant 7$，则令 $a_1=a_2=a_3<a_4<a_5=a_6=\cdots=a_n$，于是 $A_n=(a_4-a_1)(a_4-a_2)\cdots(a_4-a_n)<0$．
综上所述，当且仅当 $n=3$ 或 $n=5$ 时，对于任意实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有 $A_n\geqslant 0$．
若 $n$ 是偶数，则令 $a_1<a_2=a_3=\cdots=a_n$，此时 $A_n=(-1)^{n-1}(a_2-a-1)^{n-1}<0$，因而不等式不成立．
若 $n=3$，则
$\begin{aligned}
A_3&=(a_1-a_2)(a_1-a_3)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)+(a_3-a_1)(a_3-a_2)\\
&=a_1^2+a_2^2+a_3^2-a_1a_2-a_1a_3-a_2a_3\\
&=\dfrac{1}{2}[(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_1)^2]\\
&\geqslant 0
\end{aligned}$
若 $n=5$，则
$\begin{aligned}
A_5&=(a_1-a_2)(a_1-a_3)(a_1-a_4)(a_1-a_5)\\
&+(a_2-a_1)(a_2-a_3)(a_2-a_4)(a_2-a_5)\\
&+(a_3-a_1)(a_3-a_2)(a_3-a_4)(a_3-a_5)\\
&+(a_4-a_1)(a_4-a_2)(a_4-a_3)(a_4-a_5)\\
&+(a_5-a_1)(a_5-a_2)(a_5-a_3)(a_5-a_4)
\end{aligned}$
前两项的和为 $(a_2-a_1)[(a_3-a_1)(a_4-a_1)(a_5-a_1)-(a_3-a_2)(a_4-a_2)(a_5-a_2)]\geqslant 0$ 后两项的和也不小于 $0$，第三项也不小于 $0$，所以 $A_5\geqslant 0$．
若 $n\geqslant 7$，则令 $a_1=a_2=a_3<a_4<a_5=a_6=\cdots=a_n$，于是 $A_n=(a_4-a_1)(a_4-a_2)\cdots(a_4-a_n)<0$．
综上所述，当且仅当 $n=3$ 或 $n=5$ 时，对于任意实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有 $A_n\geqslant 0$．
答案
解析
备注
