设 $a,b$ 是实数，且 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+ax+1=0$ 至少有一个实根，求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ 的最小值．（瑞典）
【难度】
【出处】
1973年第15届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
易知 $x=0$ 不是原方程的根．原方程于是可化为 $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+(b-2)=0$．
令 $y=x+\dfrac{1}{x}$，则易证 $|y|\geqslant 2$．
解方程 $y^2+ay+(b-2)=0$ 得 $y=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4(b-2)}}{2}$ 两根中至少有一者的绝对值 $\geqslant 2$，这等价于 $|a|+\sqrt{a^2-4(b-2)}\geqslant 4$．即 $\sqrt{a^2-4(b-2)}\geqslant 4-|a|$．
（i）当 $|a|\geqslant 4$ 时，$a^2+b^2\geqslant 16$．
（ii）当 $|a|<4$ 时，两边平方并化简，得 $2|a|\geqslant 2+b$．
$b$ 若 $\leqslant -2,a^2+b^2\geqslant 4$，否则 $b\geqslant -2$，再两边平方，得 $4a^2\geqslant 4+4b+b^2$，或
$\begin{aligned}
4(a^2+b^2)&\geqslant 5b^2+4b+4\\
&\geqslant 5\left(b+\dfrac{2}{5}\right)^2+\dfrac{16}{5}\\
&\geqslant\dfrac{16}{5}
\end{aligned}$
即当 $b=-\dfrac{2}{5},a=\pm\dfrac{4}{5}$ 时，
$a^2+b^2$ 取到最小值 $\dfrac{4}{5}$．经检验，原方程有实根 $x=\mp 1$．
令 $y=x+\dfrac{1}{x}$，则易证 $|y|\geqslant 2$．
解方程 $y^2+ay+(b-2)=0$ 得 $y=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4(b-2)}}{2}$ 两根中至少有一者的绝对值 $\geqslant 2$，这等价于 $|a|+\sqrt{a^2-4(b-2)}\geqslant 4$．即 $\sqrt{a^2-4(b-2)}\geqslant 4-|a|$．
（i）当 $|a|\geqslant 4$ 时，$a^2+b^2\geqslant 16$．
（ii）当 $|a|<4$ 时，两边平方并化简，得 $2|a|\geqslant 2+b$．
$b$ 若 $\leqslant -2,a^2+b^2\geqslant 4$，否则 $b\geqslant -2$，再两边平方，得 $4a^2\geqslant 4+4b+b^2$，或
$\begin{aligned}
4(a^2+b^2)&\geqslant 5b^2+4b+4\\
&\geqslant 5\left(b+\dfrac{2}{5}\right)^2+\dfrac{16}{5}\\
&\geqslant\dfrac{16}{5}
\end{aligned}$
即当 $b=-\dfrac{2}{5},a=\pm\dfrac{4}{5}$ 时，
$a^2+b^2$ 取到最小值 $\dfrac{4}{5}$．经检验，原方程有实根 $x=\mp 1$．
答案
解析
备注
