设 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$ 都是实常数，$x$ 是一个实变量，且
$f(x)=\cos ({{a}_{1}}+x)+\dfrac{\cos ({{a}_{2}}+x)}{2}+\dfrac{\cos ({{a}_{3}}+x)}{{{2}^{2}}}+...+\dfrac{\cos ({{a}_{n}}+x)}{{{2}^{n-1}}}$．求证：若 $f({x}_{1})=f({x}_{2})=0$，则恒有 ${x}_{2}-{x}_{1}=m\pi$，其中 $m$ 是整数．（匈牙利）
$f(x)=\cos ({{a}_{1}}+x)+\dfrac{\cos ({{a}_{2}}+x)}{2}+\dfrac{\cos ({{a}_{3}}+x)}{{{2}^{2}}}+...+\dfrac{\cos ({{a}_{n}}+x)}{{{2}^{n-1}}}$．求证：若 $f({x}_{1})=f({x}_{2})=0$，则恒有 ${x}_{2}-{x}_{1}=m\pi$，其中 $m$ 是整数．（匈牙利）
【难度】
【出处】
1969年第11届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
易知
$\begin{aligned}
f(x)&=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\cos(a_k+x)\\
&=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}(\cos a_k\cos x-\sin a_k\sin x)\\
&=\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\cos a_k\right)\cos x-\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\sin a_k\right)\sin x\\
&=A\cos x-B\sin x
\end{aligned}$
其中，$\displaystyle A=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\cos a_k,B=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\sin a_k$．
下证，$A,B$ 不可能全为零，否则 $f(x)$ 恒为零，但
$\begin{aligned}
f(-a_1)&=1+\dfrac{1}{2}\cos(a_2-a-1)+\dfrac{1}{4}\cos(a_3-a_1)+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n-a_1)\\
&\geqslant 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\cdots-\dfrac{1}{2^{n-1}}\\
&=\dfrac{1}{2^{n-1}}\\
&>0
\end{aligned}$
矛盾，因此 $A,B$ 不全为零．
今若有 $f(x_1)=A\cos x_1-B\sin x_1=0,f(x_2)=A\cos x_2-B\sin x_2=0$．如果 $A\ne 0$，则有 $\cot x_1=\cot x_2=\dfrac{B}{A}$，因此 $x_1-x_1=m\pi$（$m$ 为整数）；如果 $A=0$，则 $B\sin x_1=B\sin x_2$，由于 $B\ne 0$，得 $\sin x_1=\sin
x_2$，仍有 $x_2-x_1=m\pi$（$m$ 为整数）．
$\begin{aligned}
f(x)&=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\cos(a_k+x)\\
&=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}(\cos a_k\cos x-\sin a_k\sin x)\\
&=\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\cos a_k\right)\cos x-\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\sin a_k\right)\sin x\\
&=A\cos x-B\sin x
\end{aligned}$
其中，$\displaystyle A=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\cos a_k,B=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k-1}}\sin a_k$．
下证，$A,B$ 不可能全为零，否则 $f(x)$ 恒为零，但
$\begin{aligned}
f(-a_1)&=1+\dfrac{1}{2}\cos(a_2-a-1)+\dfrac{1}{4}\cos(a_3-a_1)+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n-a_1)\\
&\geqslant 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\cdots-\dfrac{1}{2^{n-1}}\\
&=\dfrac{1}{2^{n-1}}\\
&>0
\end{aligned}$
矛盾，因此 $A,B$ 不全为零．
今若有 $f(x_1)=A\cos x_1-B\sin x_1=0,f(x_2)=A\cos x_2-B\sin x_2=0$．如果 $A\ne 0$，则有 $\cot x_1=\cot x_2=\dfrac{B}{A}$，因此 $x_1-x_1=m\pi$（$m$ 为整数）；如果 $A=0$，则 $B\sin x_1=B\sin x_2$，由于 $B\ne 0$，得 $\sin x_1=\sin
x_2$，仍有 $x_2-x_1=m\pi$（$m$ 为整数）．
答案
解析
备注
