求在区间 $x(0\leqslant x\leqslant 2\pi)$ 中，所有能使不等式 $2\cos x\leqslant |\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}|\leqslant \sqrt{2}$ 成立的实数 $x$．（南斯拉夫）
【难度】
【出处】
1965年第07届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于
$\begin{aligned}
&|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}|\\
&=|\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}-\sqrt{(\sin x-\cos x)^2}|\\
&=||\sin x+\cos x|-|\sin x-\cos x||\\
&=\begin{cases}2|\cos x|,当\dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant\dfrac{3}{4}\pi或\dfrac{5}{4}\pi\leqslant x\leqslant\dfrac{7}{4}\pi\\2|\sin x|,其他情形\end{cases}\end{aligned}$
当 $\dfrac{3}{4}\pi< x<\dfrac{5}{4}\pi$ 时，$2\cos x<0$；
当 $0\leqslant x<\dfrac{\pi}{4}$ 或 $\dfrac{7}{4}\pi< x\leqslant2\pi$ 时，$2\cos x>0$．
而右边的不等式是显然的 $(|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}|\leqslant \sqrt{1+\sin 2x}\leqslant \sqrt{2})$．
故不等式的解为 $\dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant\dfrac{7}{4}\pi$．
$\begin{aligned}
&|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}|\\
&=|\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}-\sqrt{(\sin x-\cos x)^2}|\\
&=||\sin x+\cos x|-|\sin x-\cos x||\\
&=\begin{cases}2|\cos x|,当\dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant\dfrac{3}{4}\pi或\dfrac{5}{4}\pi\leqslant x\leqslant\dfrac{7}{4}\pi\\2|\sin x|,其他情形\end{cases}\end{aligned}$
当 $\dfrac{3}{4}\pi< x<\dfrac{5}{4}\pi$ 时，$2\cos x<0$；
当 $0\leqslant x<\dfrac{\pi}{4}$ 或 $\dfrac{7}{4}\pi< x\leqslant2\pi$ 时，$2\cos x>0$．
而右边的不等式是显然的 $(|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}|\leqslant \sqrt{1+\sin 2x}\leqslant \sqrt{2})$．
故不等式的解为 $\dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant\dfrac{7}{4}\pi$．
答案
解析
备注
