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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18538 5c85f906210b284290fc2ae5 高中 解答题 自招竞赛 找到所有从实数集 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数 $f$，使得对所有 $x、y、z、t\in \mathbb{R}$，有 $(f(x)+f(z))((f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$．（印度） 2022-04-17 19:20:42
18535 5c85fecf210b284290fc2af7 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c$ 是正实数，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\geqslant 1$．（韩国） 2022-04-17 19:18:42
18483 5c860379210b28428f14d502 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 是 正实数，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leqslant 1$．（美国） 2022-04-17 19:49:41
18468 5c8606d2210b284290fc2b21 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个固定的整数，$n\geqslant2$．
（1）确定最小常数 $c$，使得不等式 $\displaystyle {{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}{{{x}_{i}}{{x}_{j}}(x_{i}^{2}+x_{j}^{2})\leqslant C\left( \sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n}{{{x}_{i}}} \right)}}^{4}}$ 对所有的非负实数 ${x}_{1},\cdots,{x}_{n}$ 都成立．
（2）对于这个常数 $c$，确定等号成立的充要条件．（波兰）		 2022-04-17 19:42:41
18464 5c8606e6210b284290fc2b2c 高中 解答题 自招竞赛 确定所有的函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，其中 $\mathbb{R}$ 是实数集，使得对任意 $x,y\in\mathbb{R}$ 都有 $f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$ 成立．（日本） 2022-04-17 19:39:41
18458 5c860d06210b28428f14d556 高中 解答题 自招竞赛 记 $\mathbb{N}^{\ast}$ 是全体正整数的集合，函数 $f:\mathbb{N}^{\ast}\rightarrow \mathbb{N}^{\ast}$ 满足：对于 $\mathbb{N}^{\ast}$ 中的任意 $s$ 和 $t$，均有 $f({t}^{2}f(s))={s(f(t))}^{2}$，试在所有这样的函数 $f$ 中，确定 $f(1998)$ 可能达到的最小值．（保加利亚） 2022-04-17 19:37:41
18443 5c86241b210b284290fc2b60 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{0,1,2,3,\cdots\}$ 是非负整数的集合，找出所有在 $S$ 上定义，取值于 $S$ 中的满足下面条件的函数 $f$：$f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)$ 对所有 $ m,n\in S$ 成立．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:27:41
18440 5c86242f210b284290fc2b67 高中 解答题 自招竞赛 设 $p、q、n$ 都是正整数，且 $p+q<n$．若 $({x}_{0},{x}_{1},\cdots,{x}_{n})$ 是满足下列条件的整数：
（1）${x}_{0}={x}_{n}=0$；
（2）对于每个整数 $i(1\leqslant i\leqslant n)$，或者 ${x}_{i}-{x}_{i-1}=p$，或者 ${x}_{i}-{x}_{i-1}=-q$．
求证：存在一对标号 $(i,j)$，使 $i<j,(i,j)\ne (0,n)$，且 ${x}_{i}={x}_{j}$．（法国）		 2022-04-17 19:25:41
18438 5c8713f8210b28428f14d5b2 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c$ 为正实数，且满足 $abc=1$．求证：$\dfrac{1}{{{a}^{3}}(b+c)}+\dfrac{1}{{{b}^{3}}(c+a)}+\dfrac{1}{{{c}^{3}}(a+b)}\geqslant \dfrac{3}{2}$．（俄罗斯） 2022-04-17 19:24:41
18436 5c871405210b28428f14d5bd 高中 解答题 自招竞赛 设正实数的数列 ${x}_{0},{x}_{1},\cdots,{x}_{1995}$ 满足以下两条件：
（1）${x}_{0}={x}_{1995}$；
（2）${{x}_{i-1}}+\dfrac{2}{{{x}_{i-1}}}=2{{x}_{i}}+\dfrac{1}{{{x}_{i}}},i=1,2,\cdots,1995$．（波兰）		 2022-04-17 19:23:41
18431 5c871724210b28428f14d5cc 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 和 $n$ 是正整数，${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{m}$ 是集合 ${1,2,\cdots,n}$ 中不同的元素，每当 ${a}_{i}+{a}_{j}\leqslant n,1\leqslant i\leqslant j\leqslant m$，就有某个 $k,1\leqslant k\leqslant m$，使得 ${a}_{i}+{a}_{j}={a}_{k}$．求证 $\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{m}}}{m}\geqslant \dfrac{n+1}{2}$．（法国） 2022-04-17 19:20:41
18427 5c87175d210b284290fc2b84 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 表示所有大于 $-1$ 的实数组成的集合，确定所有函数 $f:S\rightarrow S$，满足以下两个条件：
（1）对于 $S$ 内的所有 $x$ 和 $y$，有 $f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$；
（2）在区间 $-1<x<0$ 与 $0<x$ 的每一个内，$\dfrac{f(x)}{x}$ 是严格递增的．（英国）		 2022-04-17 19:18:41
18422 5c871bff210b28428f14d5ea 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)={x}^{n}+5{x}^{n-1}+3$，其中 $n$ 是一个大于 $1$ 的整数．求证：$f(x)$ 不能表示为两个多项式的乘积，其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次．（爱尔兰） 2022-04-17 19:15:41
18418 5c871c29210b284290fc2b95 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbb{N}^{\ast}=\{1,2,3,\cdots\}$．论证是否存在一个函数 $f:N\rightarrow N$ 使得
（1）$f(1)=2$；
（2）$f(f(n))=f(n)+n$ 对一切 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ 成立；
（3）$f(n)＜f(n+1)$ 对一切 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ 成立？（德国）		 2022-04-17 19:12:41
18412 5c8720f2210b28428f14d60a 高中 解答题 自招竞赛 设 $R$ 是 全体实数的集合．试求出所有的函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$，使得对于 $\mathbb{R}$ 中的一切 $x$ 和 $y$，都有 $f({x}^{2}+f(y))=y+{(f(x))}^{2}$．①（印度） 2022-04-17 19:09:41
18400 5c872547210b28428f14d639 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $a>1$，构造一个有界无穷数列 ${x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},\cdots$，使得对每一对不同的非负整数 $i、j$，有 $\left| {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right|\cdot\left| i-j \right|^{a}\geqslant 1$．（荷兰） 2022-04-17 19:02:41
18393 5c872c91210b28428f14d648 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbb{Q}^+ $ 是全体正有理数所成的集合，试作函数 $ f:\mathbb{Q}+\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ $，使得对任何 $ x,y\in\mathbb{Q}^+ $，都有 $ f(xf(y))=\dfrac{f(x)}{y}$．（土耳其） 2022-04-17 19:59:40
18347 5c87437e210b28428f14d675 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbb{N}^{\ast}$ 为正整数集，在 $\mathbb{N}^{\ast}$ 上定义函数 $f$ 如下：
（1）$f(1)=1,f(3)=3$；
（2）对 $n\in\mathbb{N}^+$，有
$\begin{aligned}
& f(2n)=f(n), \\
& f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n), \\
& f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)
\end{aligned}$
问：有多少个 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，且 $ n\leqslant 1988 $，使得 $ f(n)=n$？（英国）		 2022-04-17 19:34:40
18346 5c874384210b28428f14d67a 高中 解答题 自招竞赛 试证：满足不等式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{70}{\frac{k}{x-k}}\geqslant \frac{5}{4}$ 的实数 $x$ 的集合是互不相交的区间的并集，且这些区间长度的和等于 $1988$．（爱尔兰） 2022-04-17 19:33:40
18341 5c8745c4210b284290fc2c16 高中 解答题 自招竞赛 设 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 都是实数，且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1$．求证：对于任意整数 $k\geqslant 2$，存在 $n$ 个不全为零的整数 $a_i$，$|{a}_{i}|\leqslant k-1,i=1,2,\cdots,n$，使得 $\left| {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right|\leqslant \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{{{k}^{n}}-1}$．（联邦德国） 2022-04-17 19:31:40
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