设 $m$ 和 $n$ 是正整数，${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{m}$ 是集合 ${1,2,\cdots,n}$ 中不同的元素，每当 ${a}_{i}+{a}_{j}\leqslant n,1\leqslant i\leqslant j\leqslant m$，就有某个 $k,1\leqslant k\leqslant m$，使得 ${a}_{i}+{a}_{j}={a}_{k}$．求证 $\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{m}}}{m}\geqslant \dfrac{n+1}{2}$．（法国）
【难度】
【出处】
1994年第35届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a_1>a_2>\cdots>a_m$．对于任意的 $i$，当 $1\leqslant i\leqslant m$ 时，有 $a_i+a_{m+1-i}\geqslant n+1$ ①
事实上，若存在某个 $i,1\leqslant i\leqslant m$，使得 $a_i+a_{m+1-i}\leqslant n$，由 $a_1>a_2>\cdots>a_m>0$ 知 $a_i<a_i+a_m<a_i+a_{m-1}<\cdots<a_i+a_{m+1-i}\leqslant n$．
由题设知，$a_i+a_m,a_i+a_{m-1},\cdots,a_i+a_{m+1-i}$ 这 $i$ 个不同的正整数只能取 $a_1,a_2,\cdots,a_{i-1}$ 之一，矛盾．于是 ① 成立，从而
$\begin{aligned}
&2(a_1+a_2+\cdots+a_m)\\
&=(a_1+a_m)+(a_2+a_{m-1})+\cdots+(a_m+a_1)\\
&\geqslant m(n+1)
\end{aligned}$
所以 $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\geqslant\dfrac{n+1}{2}$．
事实上，若存在某个 $i,1\leqslant i\leqslant m$，使得 $a_i+a_{m+1-i}\leqslant n$，由 $a_1>a_2>\cdots>a_m>0$ 知 $a_i<a_i+a_m<a_i+a_{m-1}<\cdots<a_i+a_{m+1-i}\leqslant n$．
由题设知，$a_i+a_m,a_i+a_{m-1},\cdots,a_i+a_{m+1-i}$ 这 $i$ 个不同的正整数只能取 $a_1,a_2,\cdots,a_{i-1}$ 之一，矛盾．于是 ① 成立，从而
$\begin{aligned}
&2(a_1+a_2+\cdots+a_m)\\
&=(a_1+a_m)+(a_2+a_{m-1})+\cdots+(a_m+a_1)\\
&\geqslant m(n+1)
\end{aligned}$
所以 $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\geqslant\dfrac{n+1}{2}$．
答案
解析
备注
