设 $\mathbb{N}^{\ast}=\{1,2,3,\cdots\}$．论证是否存在一个函数 $f:N\rightarrow N$ 使得
（1）$f(1)=2$；
（2）$f(f(n))=f(n)+n$ 对一切 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ 成立；
（3）$f(n)＜f(n+1)$ 对一切 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ 成立？（德国）
（1）$f(1)=2$；
（2）$f(f(n))=f(n)+n$ 对一切 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ 成立；
（3）$f(n)＜f(n+1)$ 对一切 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ 成立？（德国）
【难度】
【出处】
1993年第34届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
答案是肯定的，即这样的函数存在．
令 $f(n)=[\alpha n+\beta],n\in\mathbb{N}^{\ast}$，其中 $\alpha=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2},\beta=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．下面证明 $f(n)$ 满足要求．
$f(1)=[\alpha+\beta]=[\sqrt{5}]=2$
$\begin{aligned}f(n+1)&=[(n+1)\alpha+\beta]\\
&=[n\alpha+\alpha+\beta]\\
&\geqslant [n\alpha +1+\beta]\\
&=f(n)+1\\
&>f(n)
\end{aligned}$
于是 $f(n)$ 满足（1），（3）且是 $\mathbb{N}^{\ast}\rightarrow\mathbb{N}^{\ast}$ 上的函数．
$\begin{aligned}
f(f(n))&=[\alpha[\alpha n+\beta]+\beta]\\
&=[(\beta+1)[\alpha n+\beta]+\beta]\\
&=[\alpha n+\beta]+[\beta[\alpha n+\beta]+\beta]
\end{aligned}$
因为 $\alpha n+\beta$ 不是整数，于是有
$\begin{aligned}\beta[\alpha n+\beta]+\beta&<\beta(\alpha n+\beta)+\beta\\
&=n+\beta^2+\beta\\
&=n+\beta(\beta+1)\\
&=n+1
\end{aligned}$
$\begin{aligned}\beta[\alpha n+\beta]+\beta&>\beta(\alpha n+\beta-1)+\beta\\
&=n+\beta^2\\
&>n\end{aligned}$
所以 $[\beta[\alpha n+\beta]+\beta]=n$
故 $f(f(n))=f(n)+n$
综上所述，$f(n)=[\alpha n+\beta]$ 满足所有条件．
令 $f(n)=[\alpha n+\beta],n\in\mathbb{N}^{\ast}$，其中 $\alpha=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2},\beta=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．下面证明 $f(n)$ 满足要求．
$f(1)=[\alpha+\beta]=[\sqrt{5}]=2$
$\begin{aligned}f(n+1)&=[(n+1)\alpha+\beta]\\
&=[n\alpha+\alpha+\beta]\\
&\geqslant [n\alpha +1+\beta]\\
&=f(n)+1\\
&>f(n)
\end{aligned}$
于是 $f(n)$ 满足（1），（3）且是 $\mathbb{N}^{\ast}\rightarrow\mathbb{N}^{\ast}$ 上的函数．
$\begin{aligned}
f(f(n))&=[\alpha[\alpha n+\beta]+\beta]\\
&=[(\beta+1)[\alpha n+\beta]+\beta]\\
&=[\alpha n+\beta]+[\beta[\alpha n+\beta]+\beta]
\end{aligned}$
因为 $\alpha n+\beta$ 不是整数，于是有
$\begin{aligned}\beta[\alpha n+\beta]+\beta&<\beta(\alpha n+\beta)+\beta\\
&=n+\beta^2+\beta\\
&=n+\beta(\beta+1)\\
&=n+1
\end{aligned}$
$\begin{aligned}\beta[\alpha n+\beta]+\beta&>\beta(\alpha n+\beta-1)+\beta\\
&=n+\beta^2\\
&>n\end{aligned}$
所以 $[\beta[\alpha n+\beta]+\beta]=n$
故 $f(f(n))=f(n)+n$
综上所述，$f(n)=[\alpha n+\beta]$ 满足所有条件．
答案
解析
备注
