设 $\mathbb{Q}^+ $ 是全体正有理数所成的集合，试作函数 $ f:\mathbb{Q}+\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ $，使得对任何 $ x,y\in\mathbb{Q}^+ $，都有 $ f(xf(y))=\dfrac{f(x)}{y}$．（土耳其）
【难度】
【出处】
1990年第31届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设函数 $f$ 满足 $f(xf(y))=\dfrac{f(x)}{y},x,y\in \mathbb{Q}^+$ ①
且对任意 $x\in \mathbb{Q}^+$，都有 $f(x)\in\mathbb{Q}^+$．若 $y_1,y_2\in\mathbb{Q}^+$，使得 $f(y_1)=f(y_2)$，则由 ① 知
$\dfrac{f(x)}{y_1}=f(xf(y_1))=f(xf(y_2))=\dfrac{f(x)}{y_2}$，
由 $f(x)>0$ 得 $y_1=y_2$．故 $f$ 是 $\mathbb{Q}^+ $ 到 $\mathbb{Q}^+ $ 的单射．
在 ① 式令 $x=y=1$，则得 $f(f(1))=f(1)$，
由于 $f$ 是单射，所以 $f(1)=1$．
令 $x=1$ 代入 ① 式，得 $f(f(y))=\dfrac{f(1)}{y}=\dfrac{1}{y}$ ②
令 $y=f(t)(t\in\mathbb{Q}^+ )$ 代入 ①，得
$f(xf(f(t)))=\dfrac{f(x)}{f(t)}$
利用 ②，得 $f\left(\dfrac{x}{t}\right)=\dfrac{f(x)}{f(t)}$，进而有
$f(xy)=f(x)f(y),x,y\in\mathbb{Q}^+ $ ③
反之，若 $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ $ 满足 ② 式与 ③ 式，则易知 $f$ 必满足 ① 式．
设 $P$ 是全体素数所成的集合，$p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots$ 一般地，$p_k$ 表示从小到大的第 $k$ 个素数．对于任给的函数 $g:P\rightarrow \mathbb{Q}^+$，可作函数 $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ $ 如下：若 $x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}$ 是整数，则定义 $f(x)=(g(p_1))^{\alpha_1}(g(p_2))^{\alpha_2}\cdots (g(p_s))^{\alpha_s}$ ④
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 可以是 $0$，也可以是负整数，因而 ④ 式已使 $f$ 对任意有理数都作了定义．这样的函数满足 ③ 式是显然的．
为使 $f$ 满足 ② 式，取 $g:P\rightarrow \mathbb{Q}^+$ 如下：
$g(p_i)=\begin{cases}p_{k+1},&&当2\nmid k时\\
\dfrac{1}{p_{k-1}},&&当2|k时\end{cases}$ ⑤
易证由 ④ 式及 ⑤ 式定义的函数 $f$ 满足 ② 式．因而这样的定义的 $f$ 满足 ① 式．
且对任意 $x\in \mathbb{Q}^+$，都有 $f(x)\in\mathbb{Q}^+$．若 $y_1,y_2\in\mathbb{Q}^+$，使得 $f(y_1)=f(y_2)$，则由 ① 知
$\dfrac{f(x)}{y_1}=f(xf(y_1))=f(xf(y_2))=\dfrac{f(x)}{y_2}$，
由 $f(x)>0$ 得 $y_1=y_2$．故 $f$ 是 $\mathbb{Q}^+ $ 到 $\mathbb{Q}^+ $ 的单射．
在 ① 式令 $x=y=1$，则得 $f(f(1))=f(1)$，
由于 $f$ 是单射，所以 $f(1)=1$．
令 $x=1$ 代入 ① 式，得 $f(f(y))=\dfrac{f(1)}{y}=\dfrac{1}{y}$ ②
令 $y=f(t)(t\in\mathbb{Q}^+ )$ 代入 ①，得
$f(xf(f(t)))=\dfrac{f(x)}{f(t)}$
利用 ②，得 $f\left(\dfrac{x}{t}\right)=\dfrac{f(x)}{f(t)}$，进而有
$f(xy)=f(x)f(y),x,y\in\mathbb{Q}^+ $ ③
反之，若 $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ $ 满足 ② 式与 ③ 式，则易知 $f$ 必满足 ① 式．
设 $P$ 是全体素数所成的集合，$p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots$ 一般地，$p_k$ 表示从小到大的第 $k$ 个素数．对于任给的函数 $g:P\rightarrow \mathbb{Q}^+$，可作函数 $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ $ 如下：若 $x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}$ 是整数，则定义 $f(x)=(g(p_1))^{\alpha_1}(g(p_2))^{\alpha_2}\cdots (g(p_s))^{\alpha_s}$ ④
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 可以是 $0$，也可以是负整数，因而 ④ 式已使 $f$ 对任意有理数都作了定义．这样的函数满足 ③ 式是显然的．
为使 $f$ 满足 ② 式，取 $g:P\rightarrow \mathbb{Q}^+$ 如下：
$g(p_i)=\begin{cases}p_{k+1},&&当2\nmid k时\\
\dfrac{1}{p_{k-1}},&&当2|k时\end{cases}$ ⑤
易证由 ④ 式及 ⑤ 式定义的函数 $f$ 满足 ② 式．因而这样的定义的 $f$ 满足 ① 式．
答案
解析
备注
