设正实数的数列 ${x}_{0},{x}_{1},\cdots,{x}_{1995}$ 满足以下两条件：
（1）${x}_{0}={x}_{1995}$；
（2）${{x}_{i-1}}+\dfrac{2}{{{x}_{i-1}}}=2{{x}_{i}}+\dfrac{1}{{{x}_{i}}},i=1,2,\cdots,1995$．（波兰）
（1）${x}_{0}={x}_{1995}$；
（2）${{x}_{i-1}}+\dfrac{2}{{{x}_{i-1}}}=2{{x}_{i}}+\dfrac{1}{{{x}_{i}}},i=1,2,\cdots,1995$．（波兰）
【难度】
【出处】
1995年第36届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将递推式改写为 $(x_{i-1}-2x_i)+\dfrac{1}{x_ix_{i-1}}(2x_i-x_{i-1})=0$．
即 $(2x_i-x_{i-1})\left(\dfrac{1}{x_ix_{i-1}}-1\right)=0$
由此知 $x_i=\dfrac{x_{i-1}}{2}$ 或 $x_i=\dfrac{1}{x_{i-1}}$
设从 $x_0$ 开始，共经历 $k-t$ 次前一类变换和 $t$ 次后一类变换得到 $x_k$，易知 $x_k=2^sx_0^{(-1)^t}$．
其中 $s\equiv k-t\pmod{2}$．
现考察 $k=1995$ 的情形，若 $t$ 是偶数，就有 $x_0=x_{1995}=2^sx_0$．
由于 $x_0>0$ 得 $s=0$，即 $0\equiv 1995-t\pmod{2}$，
这与 $t$ 偶数矛盾．于是 $t$ 必为奇数．于是有 $x_0=x_{1995}=2^sx_0^{-1}$
可得 $x_0=2^{\frac{s}{2}}$．
又此时 $s\equiv 1995-t\equiv 0\pmod{2}$，故 $s$ 是偶数．而两类变换穿插交错进行时，有可能有抵消作用，故 $s\leqslant |s|\leqslant 1995$．
于是 $s\leqslant 1994,x_0\leqslant 2^{997}$．
当 $x_0=2^{997}$ 时，递推可以实现．即
$x_i=2^{997-i},i=0,1,2,\cdots,1994;x_{1995}=\dfrac{1}{x_{1994}}=2^{997}$
综上所述，$x_0$ 的最大值为 $2^{997}$．
即 $(2x_i-x_{i-1})\left(\dfrac{1}{x_ix_{i-1}}-1\right)=0$
由此知 $x_i=\dfrac{x_{i-1}}{2}$ 或 $x_i=\dfrac{1}{x_{i-1}}$
设从 $x_0$ 开始，共经历 $k-t$ 次前一类变换和 $t$ 次后一类变换得到 $x_k$，易知 $x_k=2^sx_0^{(-1)^t}$．
其中 $s\equiv k-t\pmod{2}$．
现考察 $k=1995$ 的情形，若 $t$ 是偶数，就有 $x_0=x_{1995}=2^sx_0$．
由于 $x_0>0$ 得 $s=0$，即 $0\equiv 1995-t\pmod{2}$，
这与 $t$ 偶数矛盾．于是 $t$ 必为奇数．于是有 $x_0=x_{1995}=2^sx_0^{-1}$
可得 $x_0=2^{\frac{s}{2}}$．
又此时 $s\equiv 1995-t\equiv 0\pmod{2}$，故 $s$ 是偶数．而两类变换穿插交错进行时，有可能有抵消作用，故 $s\leqslant |s|\leqslant 1995$．
于是 $s\leqslant 1994,x_0\leqslant 2^{997}$．
当 $x_0=2^{997}$ 时，递推可以实现．即
$x_i=2^{997-i},i=0,1,2,\cdots,1994;x_{1995}=\dfrac{1}{x_{1994}}=2^{997}$
综上所述，$x_0$ 的最大值为 $2^{997}$．
答案
解析
备注
