设 $a、b、c$ 为正实数，且满足 $abc=1$．求证：$\dfrac{1}{{{a}^{3}}(b+c)}+\dfrac{1}{{{b}^{3}}(c+a)}+\dfrac{1}{{{c}^{3}}(a+b)}\geqslant \dfrac{3}{2}$．（俄罗斯）
【难度】
【出处】
1995年第36届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
原不等式等价于
$\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\geqslant\dfrac{3}{2}$
因为
$\begin{aligned}
\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}&\geqslant bc\\
\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\frac{b(c+a)}{4}&\geqslant ca\\
\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}&\geqslant ab
\end{aligned}$
把上面三个不等式相加，得
$\begin{aligned}
&\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\\
&\geqslant \frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\
&\geqslant \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}\\
& =\frac{3}{2}
\end{aligned}$
等号在 $a=b=c=1$ 时成立．
证法二
原不等式等价于
$\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\geqslant\dfrac{3}{2}$
由柯西不等式，有
$[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]\left[\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\right]\geqslant (bc+ca+ab)^2$
所以
$\begin{aligned}
&\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\\
&\geqslant \frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\
&\geqslant \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}\\
&=\frac{3}{2}
\end{aligned}$
原不等式等价于
$\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\geqslant\dfrac{3}{2}$
因为
$\begin{aligned}
\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}&\geqslant bc\\
\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\frac{b(c+a)}{4}&\geqslant ca\\
\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}&\geqslant ab
\end{aligned}$
把上面三个不等式相加，得
$\begin{aligned}
&\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\\
&\geqslant \frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\
&\geqslant \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}\\
& =\frac{3}{2}
\end{aligned}$
等号在 $a=b=c=1$ 时成立．
证法二
原不等式等价于
$\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\geqslant\dfrac{3}{2}$
由柯西不等式，有
$[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]\left[\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\right]\geqslant (bc+ca+ab)^2$
所以
$\begin{aligned}
&\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}\\
&\geqslant \frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\
&\geqslant \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}\\
&=\frac{3}{2}
\end{aligned}$
答案
解析
备注
