设 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 都是实数，且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1$．求证：对于任意整数 $k\geqslant 2$，存在 $n$ 个不全为零的整数 $a_i$，$|{a}_{i}|\leqslant k-1,i=1,2,\cdots,n$，使得 $\left| {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right|\leqslant \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{{{k}^{n}}-1}$．（联邦德国）
【难度】
【出处】
1987年第28届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x_i\geqslant 0(i=1,2,\cdots,n)$，否则用 $-x_i$ 代替 $x_i$，$-a_i$ 代替 $a_i$．由柯西不等式
$(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\leqslant (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)=n$
所以 $x_1+x_2+\cdots+x_n\leqslant \sqrt{n}$．
于是对于一切 $a_i=0,1,2,\cdots,k-1(i=1,2,\cdots,n)$，均有
$\begin{aligned}
&a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\\
&\leqslant (k-1)(x_1+x_2+\cdots+x_n)\\
&\leqslant (k-1)\sqrt{n}
\end{aligned}$
即这 $k^n$ 个数 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$ 均在区间 $[0,(k-1)\sqrt{n}]$ 中．
把区间 $[0,(k-1)\sqrt{n}]$ 分成 $k^n-1$ 等份，每个小区间的长为 $\dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}$．由抽屉原则知，上述 $k^n$ 个数中一定存在两个不同的数，设为
$a_1^\prime +a_2^\prime x_2+\cdots+a^\prime_nx_n,a_1^{\prime\prime} +a_2^{\prime\prime} x_2+\cdots+a^{\prime\prime}_nx_n$
在同一个小区里，令 $a_i=a^\prime_i-a_i^{\prime\prime},i=1,2,\cdots,n$．则 $a_i$ 是整数，且不全为零，$|a_i|\leqslant k-1(i=1,2,\cdots,n)$，并且
$|(a_1^\prime +a_2^\prime x_2+\cdots+a^\prime_nx_n)-(a_1^{\prime\prime} +a_2^{\prime\prime} x_2+\cdots+a^{\prime\prime}_nx_n)|\leqslant \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}$
即 $\left| {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right|\leqslant \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{{{k}^{n}}-1}$．
$(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\leqslant (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)=n$
所以 $x_1+x_2+\cdots+x_n\leqslant \sqrt{n}$．
于是对于一切 $a_i=0,1,2,\cdots,k-1(i=1,2,\cdots,n)$，均有
$\begin{aligned}
&a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\\
&\leqslant (k-1)(x_1+x_2+\cdots+x_n)\\
&\leqslant (k-1)\sqrt{n}
\end{aligned}$
即这 $k^n$ 个数 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$ 均在区间 $[0,(k-1)\sqrt{n}]$ 中．
把区间 $[0,(k-1)\sqrt{n}]$ 分成 $k^n-1$ 等份，每个小区间的长为 $\dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}$．由抽屉原则知，上述 $k^n$ 个数中一定存在两个不同的数，设为
$a_1^\prime +a_2^\prime x_2+\cdots+a^\prime_nx_n,a_1^{\prime\prime} +a_2^{\prime\prime} x_2+\cdots+a^{\prime\prime}_nx_n$
在同一个小区里，令 $a_i=a^\prime_i-a_i^{\prime\prime},i=1,2,\cdots,n$．则 $a_i$ 是整数，且不全为零，$|a_i|\leqslant k-1(i=1,2,\cdots,n)$，并且
$|(a_1^\prime +a_2^\prime x_2+\cdots+a^\prime_nx_n)-(a_1^{\prime\prime} +a_2^{\prime\prime} x_2+\cdots+a^{\prime\prime}_nx_n)|\leqslant \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}$
即 $\left| {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right|\leqslant \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{{{k}^{n}}-1}$．
答案
解析
备注
