设 $a,b,c$ 是 正实数，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leqslant 1$．（美国）
【难度】
【出处】
2000年第41届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
因为 $b-1+\dfrac{1}{c}=b\left(1-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{bc}\right)$
所以
$\begin{aligned}
&\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\\
&=b\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(a+1-\frac{1}{b}\right)\\
&=b\left[a^2-\left(1-\frac{1}{b}\right)^2\right]\\
&\leqslant ba^2
\end{aligned}$
同理
$\begin{aligned}&\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\leqslant cb^2\\
&\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\leqslant ac^2
\end{aligned}$
若 $a-1+\dfrac{1}{b},b-1+\dfrac{1}{c},c-1+\dfrac{1}{a}$ 不全为正数，不妨设 $a-1+\dfrac{1}{b}\leqslant 0$，则 $a\leqslant 1-\dfrac{1}{b}<1$，且 $b\geqslant 1$．于是 $b-1+\dfrac{1}{c}>0,c-1+\dfrac{1}{a}>0$，故命题成立．
若 $a-1+\dfrac{1}{b},b-1+\dfrac{1}{c},c-1+\dfrac{1}{a}$ 全为正数，则由上面的三个不等式得
$\begin{aligned}
\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)^2\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)^2\leqslant a^3b^3c^3=1\\
\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leqslant 1
\end{aligned}$
证法二
由 $abc=1$，不妨设 $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$，其中 $x,y,z\in\mathbb{R}^+$．则欲证的不等式为
$\left(\dfrac{x}{y}-1+\dfrac{z}{y}\right)\left(\dfrac{y}{z}-1+\dfrac{x}{z}\right)\left(\dfrac{z}{x}-1+\dfrac{y}{x}\right)\leqslant 1$
即 $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant xyz$
因为 $x+y-z,y+z-x,z+x-y$ 中任意两个的和都是正数，所以，它们中最多只有一个负数，若恰有一个负数，则 ① 式成立；若这三个数都非负，因为
$\begin{aligned}
x^2&\geqslant x^2-(y-z)^2=(x+y+z)(x+z-y)\\
y^2&\geqslant (y+z-x)(x+y-z)\\
z^2&\geqslant (z+x-y)(y+z-x)
\end{aligned}$
把这三个不等式相乘，并开方，得
$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant xyz$
故命题得证，
因为 $b-1+\dfrac{1}{c}=b\left(1-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{bc}\right)$
所以
$\begin{aligned}
&\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\\
&=b\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(a+1-\frac{1}{b}\right)\\
&=b\left[a^2-\left(1-\frac{1}{b}\right)^2\right]\\
&\leqslant ba^2
\end{aligned}$
同理
$\begin{aligned}&\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\leqslant cb^2\\
&\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\leqslant ac^2
\end{aligned}$
若 $a-1+\dfrac{1}{b},b-1+\dfrac{1}{c},c-1+\dfrac{1}{a}$ 不全为正数，不妨设 $a-1+\dfrac{1}{b}\leqslant 0$，则 $a\leqslant 1-\dfrac{1}{b}<1$，且 $b\geqslant 1$．于是 $b-1+\dfrac{1}{c}>0,c-1+\dfrac{1}{a}>0$，故命题成立．
若 $a-1+\dfrac{1}{b},b-1+\dfrac{1}{c},c-1+\dfrac{1}{a}$ 全为正数，则由上面的三个不等式得
$\begin{aligned}
\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)^2\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)^2\leqslant a^3b^3c^3=1\\
\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leqslant 1
\end{aligned}$
证法二
由 $abc=1$，不妨设 $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$，其中 $x,y,z\in\mathbb{R}^+$．则欲证的不等式为
$\left(\dfrac{x}{y}-1+\dfrac{z}{y}\right)\left(\dfrac{y}{z}-1+\dfrac{x}{z}\right)\left(\dfrac{z}{x}-1+\dfrac{y}{x}\right)\leqslant 1$
即 $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant xyz$
因为 $x+y-z,y+z-x,z+x-y$ 中任意两个的和都是正数，所以，它们中最多只有一个负数，若恰有一个负数，则 ① 式成立；若这三个数都非负，因为
$\begin{aligned}
x^2&\geqslant x^2-(y-z)^2=(x+y+z)(x+z-y)\\
y^2&\geqslant (y+z-x)(x+y-z)\\
z^2&\geqslant (z+x-y)(y+z-x)
\end{aligned}$
把这三个不等式相乘，并开方，得
$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant xyz$
故命题得证，
答案
解析
备注
