设 $n$ 是一个固定的整数，$n\geqslant2$．
（1）确定最小常数 $c$，使得不等式 $\displaystyle {{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}{{{x}_{i}}{{x}_{j}}(x_{i}^{2}+x_{j}^{2})\leqslant C\left( \sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n}{{{x}_{i}}} \right)}}^{4}}$ 对所有的非负实数 ${x}_{1},\cdots,{x}_{n}$ 都成立．
（2）对于这个常数 $c$，确定等号成立的充要条件．（波兰）
（1）确定最小常数 $c$，使得不等式 $\displaystyle {{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}{{{x}_{i}}{{x}_{j}}(x_{i}^{2}+x_{j}^{2})\leqslant C\left( \sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n}{{{x}_{i}}} \right)}}^{4}}$ 对所有的非负实数 ${x}_{1},\cdots,{x}_{n}$ 都成立．
（2）对于这个常数 $c$，确定等号成立的充要条件．（波兰）
【难度】
【出处】
1999年第40届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
由于不等式是对称的，不妨设 $x_1\geqslant x_2\geqslant \cdots \geqslant x_n\geqslant 0$，又不等式两边次数相等，又可设 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^nx_i=1$．于是只需讨论 $\displaystyle F(x_1,x-2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)$ 的最大值即可．
设 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_k,x_{k+1},0,\cdots,0),x^\prime=(x_1,x_2,\cdots,x_{k-1},x_k+x_{k+1},0,\cdots,0)$，这里 $x_{k+1}$ 是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中最后一个非零数 $(k\geqslant 2)$，则
$\begin{aligned}
F(x^\prime)-F(x)&=x_kx_{k+1}\left[3(x_k+x_{k+1})\sum_{i=1}^{k-1}x_i-x^2_k-x^2_{k+1}\right]\\
&=x_kx_{k+1}\left[3(x_k+x_{k+1})(1-x_k-x_{k+1})-x^2_k-x^2_{k+1}\right]\\
&=x_kx_{k+1}\left[(x_k+x_{k+1})(3-4(x_k+x_{k+1}))+2x_kx_{k+1}\right]
\end{aligned}$
因为 $1\geqslant x_1+x_k+x_{k+1}\geqslant\dfrac{1}{2}(x_k+x_{k+1})+(x_k+x_{k+1})$，所以 $x_k+x_{k+1}\leqslant \dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4},F(x^\prime)-F(x)>0$．
这表明，将 $x$ 调整为 $x^\prime$ 时，函数值 $F$ 严格增加，于是对于任意 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，经过若干次调整后可得
$\begin{aligned}
F(x)&\leqslant F(a,b,0,\cdots,0)\\
&=ab(a^2+b^2)\\
&=\frac{1}{2}(2ab)(1-2ab)\leqslant\frac{1}{8}\\
&=F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,\cdots,0\right)
\end{aligned}$．
所以，所求的最小常数 $c=\frac{1}{8}$．
等号成立的充要条件是两个 $x_i$ 相等，其余的 $n-2$ 个 $x_i$ 均等于 $0$．
证法二
当 $x_1=x_2=1,x_3=x_4=\cdots=x_n=0$ 时，$c\geqslant\dfrac{1}{16}\times 1\times1\times (1^2+1^2)=\dfrac{1}{8}$．
下证不等式
$\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x^2_i+x_j^2)\leqslant \dfrac{1}{8}(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}x_i)^4$
对所有非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 都成立．
$\begin{aligned}
(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}x_i)^4&=(\sum_{k=1}^nx^2_k+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j)^2\\
&\geqslant 4\sum_{k=1}^nx^2_k\cdot 2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\\
&=8\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\sum_{k=1}^nx^2_k\\
&\geqslant 8\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x^2_i+x^2_j)\end{aligned}$
所以 $\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x^2_i+x^2_j)\leqslant \dfrac{1}{8}(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}x_i)^4$．
故 $c$ 的最小值为 $\dfrac{1}{8}$，且等号成立的充要条件是其中两个 $x_i$ 相等，其余的 $n-2$ 个 $x_i$ 均为 $0$．
由于不等式是对称的，不妨设 $x_1\geqslant x_2\geqslant \cdots \geqslant x_n\geqslant 0$，又不等式两边次数相等，又可设 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^nx_i=1$．于是只需讨论 $\displaystyle F(x_1,x-2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)$ 的最大值即可．
设 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_k,x_{k+1},0,\cdots,0),x^\prime=(x_1,x_2,\cdots,x_{k-1},x_k+x_{k+1},0,\cdots,0)$，这里 $x_{k+1}$ 是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中最后一个非零数 $(k\geqslant 2)$，则
$\begin{aligned}
F(x^\prime)-F(x)&=x_kx_{k+1}\left[3(x_k+x_{k+1})\sum_{i=1}^{k-1}x_i-x^2_k-x^2_{k+1}\right]\\
&=x_kx_{k+1}\left[3(x_k+x_{k+1})(1-x_k-x_{k+1})-x^2_k-x^2_{k+1}\right]\\
&=x_kx_{k+1}\left[(x_k+x_{k+1})(3-4(x_k+x_{k+1}))+2x_kx_{k+1}\right]
\end{aligned}$
因为 $1\geqslant x_1+x_k+x_{k+1}\geqslant\dfrac{1}{2}(x_k+x_{k+1})+(x_k+x_{k+1})$，所以 $x_k+x_{k+1}\leqslant \dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4},F(x^\prime)-F(x)>0$．
这表明，将 $x$ 调整为 $x^\prime$ 时，函数值 $F$ 严格增加，于是对于任意 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，经过若干次调整后可得
$\begin{aligned}
F(x)&\leqslant F(a,b,0,\cdots,0)\\
&=ab(a^2+b^2)\\
&=\frac{1}{2}(2ab)(1-2ab)\leqslant\frac{1}{8}\\
&=F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,\cdots,0\right)
\end{aligned}$．
所以，所求的最小常数 $c=\frac{1}{8}$．
等号成立的充要条件是两个 $x_i$ 相等，其余的 $n-2$ 个 $x_i$ 均等于 $0$．
证法二
当 $x_1=x_2=1,x_3=x_4=\cdots=x_n=0$ 时，$c\geqslant\dfrac{1}{16}\times 1\times1\times (1^2+1^2)=\dfrac{1}{8}$．
下证不等式
$\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x^2_i+x_j^2)\leqslant \dfrac{1}{8}(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}x_i)^4$
对所有非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 都成立．
$\begin{aligned}
(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}x_i)^4&=(\sum_{k=1}^nx^2_k+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j)^2\\
&\geqslant 4\sum_{k=1}^nx^2_k\cdot 2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\\
&=8\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\sum_{k=1}^nx^2_k\\
&\geqslant 8\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x^2_i+x^2_j)\end{aligned}$
所以 $\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x^2_i+x^2_j)\leqslant \dfrac{1}{8}(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}x_i)^4$．
故 $c$ 的最小值为 $\dfrac{1}{8}$，且等号成立的充要条件是其中两个 $x_i$ 相等，其余的 $n-2$ 个 $x_i$ 均为 $0$．
答案
解析
备注
