找到所有从实数集 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数 $f$，使得对所有 $x、y、z、t\in \mathbb{R}$，有 $(f(x)+f(z))((f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$．（印度）
【难度】
【出处】
2002年第43届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记题设的等式为 $(*)$ 式．在 $(*)$ 式中令 $x=y=z=0$，得
$2f(0)(f(0)+f(t))=2f(0)$ ①
在上式中再令 $t=0$，得 $4(f(0))^2=2f(0)$，所以
$f(0)=0$ 或 $f(0)=\dfrac{1}{2}$．
若 $f(0)=\dfrac{1}{2}$，则代入 ① 式，得
$f(0)+f(t)=1,f(t)=\dfrac{1}{2}$
即 $f(x)=\dfrac{1}{2}$．
若 $f(0)=0$，在 $(*)$ 式中令 $z=t=0$，得
$f(x)f(y)=f(xy)$ ②
令 $x=y=1$，则得 $(f(1))^2=f(1)$，所以 $f(1)=0$ 或 $f(1)=1$．
当 $f(1)=0$ 时，由 ② 式可得
$f(x)=f(x)f(1)=0,x\in\mathbb{R}$．
当 $f(1)=1$ 时，在 $(*)$ 式中令 $x=0,y=t=1$，得 $2f(z)=f(-z)+f(z)$
即 $f(z)=f(-z),z\in\mathbb{R}$
所以，$f(x)$ 为偶函数．
由于在 $(*)$ 式中令 $x=y,z=t=0$，得 $f(x^2)=(f(x))^2\geqslant 0$
以及 $f(x)$ 是偶函数，所以对一切 $y\in\mathbb{R}$，有 $f(y)\geqslant 0$．
在 $(*)$ 式中令 $x=t,y=z$，得 $(f(x)+f(y))^2=f(x^2+y^2)$
所以
$\begin{aligned}
f(x^2+y^2)&=(f(x))^2+2f(x)f(y)+(f(y))^2\\
&\geqslant (f(x))^2\\
&=f(x^2)
\end{aligned}$
故当 $u\geqslant v\geqslant 0$ 时，$f(u)\geqslant f(v)$，即对 $x\in\mathbb{R}^+$，$f(x)$ 是递增的．
在 $(*)$ 式中令 $y=z=t=1$，得 $2(f(x)+1)=f(x-1)+f(x+1)$ ③
利用 ③ 及数学归纳法，易得对非负整数 $n,f(n)=n^2$ 成立．由 $f(xy)=f(x)f(y)$，可得 $f(a)=a^2$ 对所有正有理数 $a$ 成立．下证 $f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}^+$．若不然，存在某个 $x_0\in\mathbb{R}$，使得 $f(x_0)\ne x_0^2$．
若 $f(x_0)<x_0^2$，取有理数 $a$，使得 $\sqrt{f(x_0)}<a<x_0$，则 $f(a)=a^2>f(x_0)$，由 $f$ 的递增性知，$a\geqslant x_0$，矛盾．
若 $f(x_0)>x_0^2$，同上类似可得矛盾．
所以 $f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}^+$．由于 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}$．
经检验，$f(x)=0,x\in\mathbb{R};f(x)=\dfrac{1}{2},x\in\mathbb{R};f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}$ 均满足题设条件，故它们是所求的解．
$2f(0)(f(0)+f(t))=2f(0)$ ①
在上式中再令 $t=0$，得 $4(f(0))^2=2f(0)$，所以
$f(0)=0$ 或 $f(0)=\dfrac{1}{2}$．
若 $f(0)=\dfrac{1}{2}$，则代入 ① 式，得
$f(0)+f(t)=1,f(t)=\dfrac{1}{2}$
即 $f(x)=\dfrac{1}{2}$．
若 $f(0)=0$，在 $(*)$ 式中令 $z=t=0$，得
$f(x)f(y)=f(xy)$ ②
令 $x=y=1$，则得 $(f(1))^2=f(1)$，所以 $f(1)=0$ 或 $f(1)=1$．
当 $f(1)=0$ 时，由 ② 式可得
$f(x)=f(x)f(1)=0,x\in\mathbb{R}$．
当 $f(1)=1$ 时，在 $(*)$ 式中令 $x=0,y=t=1$，得 $2f(z)=f(-z)+f(z)$
即 $f(z)=f(-z),z\in\mathbb{R}$
所以，$f(x)$ 为偶函数．
由于在 $(*)$ 式中令 $x=y,z=t=0$，得 $f(x^2)=(f(x))^2\geqslant 0$
以及 $f(x)$ 是偶函数，所以对一切 $y\in\mathbb{R}$，有 $f(y)\geqslant 0$．
在 $(*)$ 式中令 $x=t,y=z$，得 $(f(x)+f(y))^2=f(x^2+y^2)$
所以
$\begin{aligned}
f(x^2+y^2)&=(f(x))^2+2f(x)f(y)+(f(y))^2\\
&\geqslant (f(x))^2\\
&=f(x^2)
\end{aligned}$
故当 $u\geqslant v\geqslant 0$ 时，$f(u)\geqslant f(v)$，即对 $x\in\mathbb{R}^+$，$f(x)$ 是递增的．
在 $(*)$ 式中令 $y=z=t=1$，得 $2(f(x)+1)=f(x-1)+f(x+1)$ ③
利用 ③ 及数学归纳法，易得对非负整数 $n,f(n)=n^2$ 成立．由 $f(xy)=f(x)f(y)$，可得 $f(a)=a^2$ 对所有正有理数 $a$ 成立．下证 $f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}^+$．若不然，存在某个 $x_0\in\mathbb{R}$，使得 $f(x_0)\ne x_0^2$．
若 $f(x_0)<x_0^2$，取有理数 $a$，使得 $\sqrt{f(x_0)}<a<x_0$，则 $f(a)=a^2>f(x_0)$，由 $f$ 的递增性知，$a\geqslant x_0$，矛盾．
若 $f(x_0)>x_0^2$，同上类似可得矛盾．
所以 $f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}^+$．由于 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}$．
经检验，$f(x)=0,x\in\mathbb{R};f(x)=\dfrac{1}{2},x\in\mathbb{R};f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}$ 均满足题设条件，故它们是所求的解．
答案
解析
备注
