已知实数 $a>1$，构造一个有界无穷数列 ${x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},\cdots$，使得对每一对不同的非负整数 $i、j$，有 $\left| {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right|\cdot\left| i-j \right|^{a}\geqslant 1$．（荷兰）
【难度】
【出处】
1991年第32届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
先证一个引理：对于正整数 $a,b$，若 $a<(4-\sqrt{2})b$，则 $|a-\sqrt{2}b|>\dfrac{1}{4b}$．
事实上，
$\begin{aligned}
|a-\sqrt{2}b|&=\frac{|a^2-2b^2|}{a+\sqrt{2}b}
\end{aligned}$
先证一个引理：对于正整数 $a,b$，若 $a<(4-\sqrt{2})b$，则 $|a-\sqrt{2}b|>\dfrac{1}{4b}$．
事实上，
$\begin{aligned}
|a-\sqrt{2}b|&=\frac{|a^2-2b^2|}{a+\sqrt{2}b}
\end{aligned}$
答案
解析
备注
