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设 $S=\{0,1,2,3,\cdots\}$ 是非负整数的集合，找出所有在 $S$ 上定义，取值于 $S$ 中的满足下面条件的函数 $f$：$f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)$ 对所有 $ m,n\in S$ 成立．（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
1996年第37届IMO试题
【标注】
  • 知识点
    >
    二试代数部分
【答案】
略
【解析】
设 $f:S\rightarrow S$ 满足条件．
令 $m=n=0$，得 $f(f(0))=f(f(0))+f(0)$，
所以 $f(0)=0$．令 $m=0$，得 $f(f(n))=f(n)$ ①
所以 $f(m+f(n))=f(m)+f(n)$ ②
设 $f$ 的值域为 $T$．由 ① 知，$T$ 中任一数 $f(n)$ 是 $f$ 的不动点，而 $f$ 的不动点当然在 $f$ 的值域中，所以，$f$ 的值域就是 $f$ 的不动点全体．
设 $m\geqslant n$，$m,n\in T$，则 $f(m)=m,f(n)=n$，于是
$\begin{aligned}
f(m+n)&=f(m+f(n))\\
&=f(m)+f(n)\\
&=m+n
\end{aligned}$
从而 $m+n\in T$．又
$\begin{aligned}
f(m-n)+f(n)&=f(m-n+f(n))\\
&=f(m-n+n)\\
&=f(m)
\end{aligned}$
从而 $f(m-n)=f(m)-f(n)=m-n$，故 $m-n\in T$．
若 $T\ne\{0\}$，设 $T$ 中最小的正数为 $d$．对任一数 $c\in T$，设 $c=kd+r$，其中 $k$ 为正整数，$0\leqslant r<d$，则 $kd\in T,r=c-kd\in T$．由 $d$ 的最小性得 $r=0$．即 $T$ 中任一数 $c$ 都是 $d$ 的倍数．
对任一非负整数 $n$，令 $n=dq+t$，$q$ 为非负整数，$0\leqslant t<d$，则由上面知，$f(t)=h_td$，$h_t$ 为非负整数．
$\begin{aligned}
f(n)&=f(dq+t)\\
&=f((q-1)d+t)+f(d)\\
&=f((q-1)d+t)+d=\cdots\\
&=qd+f(t)\\
&=qd+h_td
\end{aligned}$
于是，所求函数一定具有如下形式：$f(n)=gd+h_td$，
其中非负整数 $q,t$ 由 $n=dq+t,0\leqslant t<d$ 定出．而 $h_t(t=1,2,\cdots,d-1)$ 为任意非负整数，$h_0=0$．
下面我们来验证这些函数满足题设．对任意的 $m,n\in S$，设 $m=dq+t,f(n)=kd$，则
$\begin{aligned}
f(m+f(n))&=f(dq+t+kd)\\
&=f((q+k)d+t)\\
&=(q+k)d+f(t)\\
&=qd+f(t)+kd\\
&=f(m)+f(n)
\end{aligned}$
故这样的函数满足要求．
答案 解析 备注
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