记 $\mathbb{N}^{\ast}$ 是全体正整数的集合，函数 $f:\mathbb{N}^{\ast}\rightarrow \mathbb{N}^{\ast}$ 满足：对于 $\mathbb{N}^{\ast}$ 中的任意 $s$ 和 $t$，均有 $f({t}^{2}f(s))={s(f(t))}^{2}$，试在所有这样的函数 $f$ 中，确定 $f(1998)$ 可能达到的最小值．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1998年第39届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先证明题设
$f(t^2f(s))=s(f(t))^2$ ①
等价于
$\begin{cases}
f(f(s))=s(f(1))^2 ② \\
f(st)=\dfrac{f(s)f(t)}{f(1)} ③
\end{cases}$
由 ②③ 可得
$\begin{aligned}
f(t^2f(s))&=\dfrac{f(t)f(tf(s))}{f(1)}\\
&=\dfrac{f(t)\cdot f(t)f(f(s))}{(f(1))^2}\\
&=s(f(t))^2
\end{aligned}$
即 ① 式成立．
在 ① 式中，令 $t=1$，得 $f(f(s))=s(f(1))^2$，在 ① 中，用 $f(s)$ 代 $s$，得
$f(t^2s(f(1))^2)=f(t^2f(f(s)))=f(s)(f(t))^2$ ④
用 $s=t^2,t=1$ 代入 ④，可得
$f(t^2)(f(1))^2=f(t^2(f(1))^2)=f(1)(f(t))^2$
故 $f(t^2)=\dfrac{(f(t))^2}{f(1)}$ ⑤
由 ⑤ 便得 $f(s^2t^2)=\dfrac{(f(st))^2}{f(1)}$ ⑥
由 ④⑥ 得
$\begin{aligned}
f(s^2t^2)(f(1))^2&=f(s^2t^2(f(1))^2)\\
&=f(t^2)(f(s))^2\\
&=\frac{(f(t))^2}{f(1)}\cdot (f(s))^2
\end{aligned}$ ⑦
由 ⑥⑦ 便得 ③．
其次，我们证明：对任意 $t\in\mathbb{N}^{\ast}$，有 $f(1)|f(t)$．
事实上，由 ③，⑤ 结合数学归纳法可得
$f(t^n)=(\dfrac{f(t)}{f(1)})^{n-1}f(t),n\in\mathbb{N}^{\ast}$．
若 $f(1)\not|f(t)$，则存在 $f(1)$ 的质因子 $p$ 及正整数 $m$，使得 $p^n|f(1)$，从而当 $n>m$ 时，有 $p^{m(n-1)}\not|f^n(t)$，导致 $f(t^n)\not\in\mathbb{N}^{\ast}$，矛盾．
设 $f(m)=k_m\cdot f(1)(m\in\mathbb{N}^{\ast})$，可以证明：当 $s\ne t$ 时，$k_s\ne k_t$，这是因为 $k_s=k_t$ 时，$s(f(1))^2=f(f(s))=f(f(t))=t(f(1))^2$，于是 $s=t$，特别地，当 $m>1$ 时，$k_m>1$．
下求 $f(1998)$ 的最小值．由于
$\begin{aligned}
f(1988)&=f(2\times 3^3\times 37)\\
&=\frac{f(2)(f(3))^3f(37)}{(f(1))^4}\\
&=k_2\cdot k_3^3\cdot k_{37}f(1)
\end{aligned}$
其中 $k_2, k_3^3, k_{37}$ 都大于 $1$，且两两不同．于是 $f(1998)\geqslant 1\times 2^3\times 3\times 5=120$．
事实上，只需说明 $f(1998)\ne 1\times 2^3\times 3\times 4$．若 $f(1998)=1\times 2^3\times 3\times 4$，则 $f(3)=2,f(1)=1$．此时 $f(9)=\dfrac{(f(3))^2}{f(1)}=4$，所以 $k_2$ 与 $k_{37}$ 均不能为 $4$，矛盾．
下面构造函数 $f:\mathbb{N}^{\ast}\rightarrow\mathbb{N}^{\ast}$，使得 $f(1998)=120$．令 $f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,f(5)=37,f(37)=5,f(p)=p$（$p$ 为不同于 $2,3,5,37$ 的质数），且 $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}$ 为合数时，$f(n)=f(p_1)^{\alpha_1}f(p_2)^{\alpha_2}\cdots f(p_r)^{\alpha_r}$．显然，这个函数 $f$ 满足 ② 和 ③．
综上所述，$f(1998)$ 的最小值为 $120$．
$f(t^2f(s))=s(f(t))^2$ ①
等价于
$\begin{cases}
f(f(s))=s(f(1))^2 ② \\
f(st)=\dfrac{f(s)f(t)}{f(1)} ③
\end{cases}$
由 ②③ 可得
$\begin{aligned}
f(t^2f(s))&=\dfrac{f(t)f(tf(s))}{f(1)}\\
&=\dfrac{f(t)\cdot f(t)f(f(s))}{(f(1))^2}\\
&=s(f(t))^2
\end{aligned}$
即 ① 式成立．
在 ① 式中，令 $t=1$，得 $f(f(s))=s(f(1))^2$，在 ① 中，用 $f(s)$ 代 $s$，得
$f(t^2s(f(1))^2)=f(t^2f(f(s)))=f(s)(f(t))^2$ ④
用 $s=t^2,t=1$ 代入 ④，可得
$f(t^2)(f(1))^2=f(t^2(f(1))^2)=f(1)(f(t))^2$
故 $f(t^2)=\dfrac{(f(t))^2}{f(1)}$ ⑤
由 ⑤ 便得 $f(s^2t^2)=\dfrac{(f(st))^2}{f(1)}$ ⑥
由 ④⑥ 得
$\begin{aligned}
f(s^2t^2)(f(1))^2&=f(s^2t^2(f(1))^2)\\
&=f(t^2)(f(s))^2\\
&=\frac{(f(t))^2}{f(1)}\cdot (f(s))^2
\end{aligned}$ ⑦
由 ⑥⑦ 便得 ③．
其次，我们证明：对任意 $t\in\mathbb{N}^{\ast}$，有 $f(1)|f(t)$．
事实上，由 ③，⑤ 结合数学归纳法可得
$f(t^n)=(\dfrac{f(t)}{f(1)})^{n-1}f(t),n\in\mathbb{N}^{\ast}$．
若 $f(1)\not|f(t)$，则存在 $f(1)$ 的质因子 $p$ 及正整数 $m$，使得 $p^n|f(1)$，从而当 $n>m$ 时，有 $p^{m(n-1)}\not|f^n(t)$，导致 $f(t^n)\not\in\mathbb{N}^{\ast}$，矛盾．
设 $f(m)=k_m\cdot f(1)(m\in\mathbb{N}^{\ast})$，可以证明：当 $s\ne t$ 时，$k_s\ne k_t$，这是因为 $k_s=k_t$ 时，$s(f(1))^2=f(f(s))=f(f(t))=t(f(1))^2$，于是 $s=t$，特别地，当 $m>1$ 时，$k_m>1$．
下求 $f(1998)$ 的最小值．由于
$\begin{aligned}
f(1988)&=f(2\times 3^3\times 37)\\
&=\frac{f(2)(f(3))^3f(37)}{(f(1))^4}\\
&=k_2\cdot k_3^3\cdot k_{37}f(1)
\end{aligned}$
其中 $k_2, k_3^3, k_{37}$ 都大于 $1$，且两两不同．于是 $f(1998)\geqslant 1\times 2^3\times 3\times 5=120$．
事实上，只需说明 $f(1998)\ne 1\times 2^3\times 3\times 4$．若 $f(1998)=1\times 2^3\times 3\times 4$，则 $f(3)=2,f(1)=1$．此时 $f(9)=\dfrac{(f(3))^2}{f(1)}=4$，所以 $k_2$ 与 $k_{37}$ 均不能为 $4$，矛盾．
下面构造函数 $f:\mathbb{N}^{\ast}\rightarrow\mathbb{N}^{\ast}$，使得 $f(1998)=120$．令 $f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,f(5)=37,f(37)=5,f(p)=p$（$p$ 为不同于 $2,3,5,37$ 的质数），且 $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}$ 为合数时，$f(n)=f(p_1)^{\alpha_1}f(p_2)^{\alpha_2}\cdots f(p_r)^{\alpha_r}$．显然，这个函数 $f$ 满足 ② 和 ③．
综上所述，$f(1998)$ 的最小值为 $120$．
答案
解析
备注
