确定所有的函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，其中 $\mathbb{R}$ 是实数集，使得对任意 $x,y\in\mathbb{R}$ 都有 $f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$ 成立．（日本）
【难度】
【出处】
1999年第40届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记题设的等式为 $(*)$ 式．在 $(*)$ 式中，令 $x=f(y)$，有 $f(0)=f(f(y))+(f(y))^2+f(f(y))-1$
所以 $f(f(y))=\dfrac{1+f(0)-(f(y))^2}{2}$
$\begin{aligned}
f(f(x)-f(y))&=f(f(y))+f(x)f(y)+f(f(x))-1\\
&=\frac{1+f(0)-(f(y))^2}{2}+f(x)f(y)+\frac{1+f(0)-(f(x))^2}{2}-1\\
&=f(0)-\frac{1}{2}(f(x)-f(y))^2
\end{aligned}$
因为 $f(y)=0$ 不满足 $(*)$ 式，故存在 $y_0\in\mathbb{R}$，使 $f(y_0)\ne 0$．由 $(*)$ 式得 $f(x-f(y_0))-f(x)=xf(y_0)+f(f(y_0))-1$
故对任意实数 $z$，存在 $x\in\mathbb{R}$，使 $f(x-f(y_0))-f(x)=z$
代入 ① 式，得 $f(z)=f(0)-\dfrac{1}{2}z^2$ ②
将 ② 式代入 $(*)$ 式，可得 $f(0)=1$．故 $f(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$．
经检验，$f(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$ 满足 $(*)$ 式，故所求的函数为 $f(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$．
所以 $f(f(y))=\dfrac{1+f(0)-(f(y))^2}{2}$
$\begin{aligned}
f(f(x)-f(y))&=f(f(y))+f(x)f(y)+f(f(x))-1\\
&=\frac{1+f(0)-(f(y))^2}{2}+f(x)f(y)+\frac{1+f(0)-(f(x))^2}{2}-1\\
&=f(0)-\frac{1}{2}(f(x)-f(y))^2
\end{aligned}$
因为 $f(y)=0$ 不满足 $(*)$ 式，故存在 $y_0\in\mathbb{R}$，使 $f(y_0)\ne 0$．由 $(*)$ 式得 $f(x-f(y_0))-f(x)=xf(y_0)+f(f(y_0))-1$
故对任意实数 $z$，存在 $x\in\mathbb{R}$，使 $f(x-f(y_0))-f(x)=z$
代入 ① 式，得 $f(z)=f(0)-\dfrac{1}{2}z^2$ ②
将 ② 式代入 $(*)$ 式，可得 $f(0)=1$．故 $f(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$．
经检验，$f(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$ 满足 $(*)$ 式，故所求的函数为 $f(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$．
答案
解析
备注
