设 $R$ 是 全体实数的集合．试求出所有的函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$，使得对于 $\mathbb{R}$ 中的一切 $x$ 和 $y$，都有 $f({x}^{2}+f(y))=y+{(f(x))}^{2}$．①（印度）
【难度】
【出处】
1992年第33届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
先证 $f(0)=0$．令 $x=0,t=f^2(0)$，得 $f(f(y))=y+t$ ②
由 ②，得（令 $y=x^2+f(f(y))$）
$f[f(x^2+f(f(y)))]=x^2+f(f(y))+t$ ③
由 ①，得 $f[f(x^2+f(f(y)))]=f[(f(x))^2+f(y)]=y+[f(f(x))]^2$ ④
由 ②，③，④ 得 $x^2+y+2t=y+(x+t)^2,2t=t^2+2tx$
对任意实数 $x$ 都成立，故 $t=0$，即 $f(0)=0$．
于是 ② 式为 $f(f(y))=y$ ⑤
当 $x\geqslant 0$ 时，由 ① 和 ⑤，得
$\begin{aligned}
f(x+y)&=f(x+f(f(y)))\\
&=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2\\
&\geqslant f(y)
\end{aligned}$
故 $f(x)$ 是 $R$ 上的递增函数，即当 $x\geqslant y$ 时，有 $f(x)\geqslant f(y)$．
若有 $x$ 使 $f(x)>x$，则 $f(f(x))\geqslant f(x)>x$，矛盾；若有 $x$ 使 $f(x)<x$，则 $f(f(x))\leqslant f(x)<x$，也矛盾．于是 $f(x)=x$．
显然 $f(x)=x$ 满足题中条件．
证法二
由 ① 及 $y$ 可取一切实数得 $f$ 是满射．
又若 $f(y_1)=f(y_2)$，则由 ① 得
$\begin{aligned}
y_1+f^2(x)&=f(x^2+f(y_1))\\
&=f(x^2+f(y_2))\\
&=y_2+f^2(x)
\end{aligned}$
从而 $y_1=y_2$，故 $f$ 是单射．
所以 $f$ 是一一对应（双射）．
由 ① 得
$\begin{aligned}
y+f^2(x)&=f(x^2+f(y))\\
&=f((-x)^2+f(y))\\
&=y+f^2(-x)
\end{aligned}$
当 $x\ne 0$ 时，且 $f(x)\ne f(-x)$，所以 $f(x)=f(-x)\ne 0$．
由于 $f$ 是满射，必有 $f(0)=0$，从而 $f(f(y))=y$．
下同证法一．
先证 $f(0)=0$．令 $x=0,t=f^2(0)$，得 $f(f(y))=y+t$ ②
由 ②，得（令 $y=x^2+f(f(y))$）
$f[f(x^2+f(f(y)))]=x^2+f(f(y))+t$ ③
由 ①，得 $f[f(x^2+f(f(y)))]=f[(f(x))^2+f(y)]=y+[f(f(x))]^2$ ④
由 ②，③，④ 得 $x^2+y+2t=y+(x+t)^2,2t=t^2+2tx$
对任意实数 $x$ 都成立，故 $t=0$，即 $f(0)=0$．
于是 ② 式为 $f(f(y))=y$ ⑤
当 $x\geqslant 0$ 时，由 ① 和 ⑤，得
$\begin{aligned}
f(x+y)&=f(x+f(f(y)))\\
&=f(y)+(f(\sqrt{x}))^2\\
&\geqslant f(y)
\end{aligned}$
故 $f(x)$ 是 $R$ 上的递增函数，即当 $x\geqslant y$ 时，有 $f(x)\geqslant f(y)$．
若有 $x$ 使 $f(x)>x$，则 $f(f(x))\geqslant f(x)>x$，矛盾；若有 $x$ 使 $f(x)<x$，则 $f(f(x))\leqslant f(x)<x$，也矛盾．于是 $f(x)=x$．
显然 $f(x)=x$ 满足题中条件．
证法二
由 ① 及 $y$ 可取一切实数得 $f$ 是满射．
又若 $f(y_1)=f(y_2)$，则由 ① 得
$\begin{aligned}
y_1+f^2(x)&=f(x^2+f(y_1))\\
&=f(x^2+f(y_2))\\
&=y_2+f^2(x)
\end{aligned}$
从而 $y_1=y_2$，故 $f$ 是单射．
所以 $f$ 是一一对应（双射）．
由 ① 得
$\begin{aligned}
y+f^2(x)&=f(x^2+f(y))\\
&=f((-x)^2+f(y))\\
&=y+f^2(-x)
\end{aligned}$
当 $x\ne 0$ 时，且 $f(x)\ne f(-x)$，所以 $f(x)=f(-x)\ne 0$．
由于 $f$ 是满射，必有 $f(0)=0$，从而 $f(f(y))=y$．
下同证法一．
答案
解析
备注
