试证：满足不等式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{70}{\frac{k}{x-k}}\geqslant \frac{5}{4}$ 的实数 $x$ 的集合是互不相交的区间的并集，且这些区间长度的和等于 $1988$．（爱尔兰）
【难度】
【出处】
1988年第29届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{70}\dfrac{k}{x-k}-\dfrac{5}{4}$．
当 $x<1$ 时，$f(x)<0$，故在 $(-\infty,1)$ 中 $f(x)\geqslant 0$ 无解．
易见，对 $n=1,2,\cdots,70$，有 $\lim\limits_{x\rightarrow n+0}f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\rightarrow n-0}f(x)=-\infty$
且 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\dfrac{4}{5}<0$．
故 $f(x)=0$ 在 $(1,2),(2,3),\cdots,(69,70),(70,+\infty)$ 各区间中连续且各有一根，分别记为 $x_1,x_2,\cdots,x_{70}$．
讨论方程 $(x-1)(x-2)\cdots(x-70)f(x)=0$ ①
① 式左边是一 $70$ 次多项式，故至多有 $70$ 个实根．因此 $x_1,x_2,\cdots,x_{70}$ 即是 ① 的全部根．由此及函数的连续性，不等式 $f(x)\geqslant 0$ 的解集是
$(1,x_1]\bigcup(2,x_2]\bigcup\cdots\bigcup(70,x_{70}]$
其区间长度和为
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{70}(x_i-i)=\sum_{i=1}^{70}-\sum_{i=1}^{70}i$．
由根与系数关系（即韦达定理）知
$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{70}x_i&=\frac{4}{5}\left(1+\frac{5}{4}\right)\sum_{i=1}^{70}i\\
&=\frac{9}{5}\sum_{i=1}^{70}i
\end{aligned}$
因此区间长度和等于 $\displaystyle \frac{4}{5}\sum\limits_{i=1}^{70}i=\frac{4}{5}\times 35\times 71=1988$．
当 $x<1$ 时，$f(x)<0$，故在 $(-\infty,1)$ 中 $f(x)\geqslant 0$ 无解．
易见，对 $n=1,2,\cdots,70$，有 $\lim\limits_{x\rightarrow n+0}f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\rightarrow n-0}f(x)=-\infty$
且 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\dfrac{4}{5}<0$．
故 $f(x)=0$ 在 $(1,2),(2,3),\cdots,(69,70),(70,+\infty)$ 各区间中连续且各有一根，分别记为 $x_1,x_2,\cdots,x_{70}$．
讨论方程 $(x-1)(x-2)\cdots(x-70)f(x)=0$ ①
① 式左边是一 $70$ 次多项式，故至多有 $70$ 个实根．因此 $x_1,x_2,\cdots,x_{70}$ 即是 ① 的全部根．由此及函数的连续性，不等式 $f(x)\geqslant 0$ 的解集是
$(1,x_1]\bigcup(2,x_2]\bigcup\cdots\bigcup(70,x_{70}]$
其区间长度和为
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{70}(x_i-i)=\sum_{i=1}^{70}-\sum_{i=1}^{70}i$．
由根与系数关系（即韦达定理）知
$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{70}x_i&=\frac{4}{5}\left(1+\frac{5}{4}\right)\sum_{i=1}^{70}i\\
&=\frac{9}{5}\sum_{i=1}^{70}i
\end{aligned}$
因此区间长度和等于 $\displaystyle \frac{4}{5}\sum\limits_{i=1}^{70}i=\frac{4}{5}\times 35\times 71=1988$．
答案
解析
备注
