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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27445 59098ae639f91d0007cc93c6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_i=\dfrac{1}{2^i}(i=1,2,\cdots ,215)$，$a_{216}=\dfrac{1}{2^{215}}$．正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{216}$ 满足$$\sum\limits_{i=1}^{216} x_i=1,\quad \sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant 216} x_ix_j = \dfrac{107}{215}+ \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{a_ix_i^2}{2(1-a_i)}.$$设 $x_2$ 的最大值为 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 21:17:04
27439 59098e2838b6b400072dd1f7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}+2\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=3\overrightarrow {CA}\cdot\overrightarrow {CB}$．求 $\sin C$ 的最大值． 2022-04-17 21:15:04
27436 59098f3838b6b400072dd203 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{2016}$ 满足 $9a_i>11a_{i+1}^2(i=1,2,\cdots,2015)$．求$$\left(a_1-a_2^2\right)\cdot\left(a_2-a_3^2\right)\cdots(a_{2015}-a_{2016}^2)\cdot(a_{2016}-a_1^2)$$的最大值． 2022-04-17 21:14:04
27416 590a8e3a6cddca00078f3830 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b\in\mathbb R$，关于 $x$ 的方程 $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ 有一个实根，求 $a^2+b^2$ 的最小值． 2022-04-17 21:02:04
27415 590a8e5a6cddca00092f6ea3 高中 解答题 高中习题 给定正实数 $x_1,y_1,z_1$，定义数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 如下：$$x_{n+1}=y_n+\dfrac 1{z_n},y_{n+1}=z_n+\dfrac{1}{x_n},z_{n+1}=x_n+\dfrac 1{y_n},$$求证：$x_{200},y_{200},z_{200}$ 中至少有一个数大于 $20$． 2022-04-17 21:02:04
27414 590a8e796cddca000a081887 高中 解答题 高中习题 已知实数 $a,b,c$ 和正实数 $\lambda$ 使得 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有三个实根 $x_1,x_2,x_3$，且满足 $x_2-x_1=\lambda$，$x_3>\dfrac{x_1+x_2}2$，求证：$\dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}2$． 2022-04-17 21:01:04
27413 590a8ef86cddca00092f6eae 高中 解答题 自招竞赛 设正数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求 $\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$ 的取值范围． 2022-04-17 21:00:04
27410 590a919b6cddca00078f3853 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c>0$，$a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac 32$． 2022-04-17 21:58:03
27404 590a93dd6cddca000a0818c7 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，求证：$5\left(a^2+b^2+c^2\right)+18abc\geqslant \dfrac 73$． 2022-04-17 21:54:03
27403 590a94136cddca00078f386c 高中 解答题 高中习题 求证：$\left({\rm e}^1+{\rm e}^{-1}\right)\left({\rm e}^2+{\rm e}^{-2}\right)\cdots \left({\rm e}^n+{\rm e}^{-n}\right)>\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}$． 2022-04-17 21:53:03
27399 590a998a6cddca000a0818e9 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：$$\left(\csc\dfrac A2+\csc\dfrac B2+\csc\dfrac C2\right)^2\geqslant 9+\left(\cot\dfrac A2+\cot\dfrac B2+\cot\dfrac C2\right)^2,$$并指明等号取得的条件． 2022-04-17 21:52:03
27398 590a9a356cddca000a0818ee 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\ln x$，$n$ 是正整数，求证：$$\displaystyle \dfrac 54n+\dfrac 1{60}<\sum_{k=1}^n\left[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)\right]<2n+1.$$ 2022-04-17 21:51:03
27397 590a9a576cddca00078f388f 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant 1$． 2022-04-17 21:50:03
27396 590a9a916cddca0008610dad 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长，求证：$$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geqslant 0.$$ 2022-04-17 21:49:03
27394 590aa10a6cddca0008610dc1 高中 解答题 高中习题 已知 $n$（$n\geqslant 2$）个实数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$，$|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|=1$，求证：$$|a_1+2a_2+\cdots +na_n|\leqslant \dfrac {n-1}2.$$ 2022-04-17 21:48:03
27391 590aa2f96cddca00092f6f3f 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，且 $x+y+z=1$，求证：$$\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2.$$ 2022-04-17 21:47:03
27389 590aa3d16cddca00078f38c8 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=2$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{bc}{1+abc(a+b)}\leqslant 1$． 2022-04-17 21:46:03
27388 590aa3ed6cddca000a08193b 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{z\left(z^2-y^2\right)}{x+y}\geqslant 0$． 2022-04-17 21:45:03
27384 590aa5756cddca000a08194f 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B,C$ 是锐角，且 $\tan A+\tan B+\tan C=1$，求证：$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C\leqslant \dfrac 95$． 2022-04-17 21:42:03
27383 590aa5d46cddca0008610dea 高中 解答题 高中习题 若 $a,b,c,d>0$，求证：$\dfrac{a^2-bd}{b+2c+d}+\dfrac{b^2-ca}{c+2d+a}+\dfrac{c^2-db}{d+2a+b}+\dfrac{d^2-ac}{a+2b+c}\geqslant 0$． 2022-04-17 21:41:03
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