设 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由权方和不等式，有$$LHS\geqslant \dfrac{(a+b+c)^{\frac 32}}{\sqrt{a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)}},$$因此只需要证明$$\left(\sum_{cyc}a\right)^3\geqslant \sum_{cyc}\left[a\left(a^2+8bc\right)\right],$$即$$3\sum_{cyc}\left(ab^2\right)+3\sum_{cyc}\left(a^2b\right)\geqslant 18abc,$$由均值不等式，上述不等式成立，因此原不等式得证．
答案
解析
备注
