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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27497 59095042060a05000970b3a2 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x^2+px+q$，求证：$|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|$ 中至少有一个不小于 $\dfrac 12$． 2022-04-17 21:50:04
27375 590ac1166cddca000a08198b 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 为递增数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1>1$，且 $10S_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$，$n\in\mathbb N^*$． 2022-04-17 21:36:03
27343 5952423cd3b4f90007b6fa27 高中 解答题 高中习题 已知实数 $x,y$ 满足$$\left(\sqrt{x^2+2015}-y\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2015}-x\right)=2015,$$求 $x+y$ 的值． 2022-04-17 21:18:03
27297 590bd2c86cddca00092f70ee 高中 解答题 自招竞赛 证明：$\tan {3^\circ}$ 是无理数． 2022-04-17 21:54:02
27237 590bf084d42ca70008537545 高中 解答题 自招竞赛 若 $a$ 为正整数而 $\sqrt a$ 不为整数，证明：$\sqrt a$ 为无理数． 2022-04-17 21:24:02
27220 590c1518d42ca7000a7e7e4e 高中 解答题 自招竞赛 设有 $mn$ 个实数排成一个 $m$ 行 $n$ 列的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}} \right\}_{m \times n}}$，使得每一行上的 $n$ 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意 $1 \leqslant i \leqslant m$，当 ${j_1} < {j_2}$ 时有 ${a_{i{j_1}}} \leqslant {a_{i{j_2}}}$．下面把每列上的 $m$ 个数都从上到下按递增的顺序重排得到阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$，即对任意的 $1 \leqslant j \leqslant n$，当 ${i_1} < {i_2}$ 时有 ${a_{{i_1}j}}^\prime \leqslant {a_{{i_2}j}}^\prime $，问这个新的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$ 每一行中的 $n$ 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由． 2022-04-17 21:14:02
27172 590fbd96857b4200092b0709 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 为大于零的正实数，且 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{10}} = 30$，${a_1}{a_2} \cdots {a_{10}} < 21$，求证：$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 中必有一个数在 $(0,1)$ 之间． 2022-04-17 21:46:01
27144 590feae7857b420007d3e5ee 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，对于一个正 $n$ 边形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$，延长 $A_kA_{k+1}$ 至 $B_{k+1}$（记 $A_{n+1}=A_1$，$B_{n+1}=B_1$），使得 $\triangle A_kB_kB_{k+1}$ 的周长相等．求证：所有三角形均全等． 2022-04-17 21:32:01
27124 59101b44857b420007d3e63e 高中 解答题 自招竞赛 已知正数列 ${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$，且对大于 $1$ 的 $n$ 有 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n} = \dfrac{3}{2}n$，${a_1} \cdot {a_2} \cdots {a_n} = \dfrac{{n + 1}}{2}$．试证：${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$ 中至少有一个小于 $1$． 2022-04-17 21:20:01
27110 5927c20f74a309000997fc45 高中 解答题 高考真题 已知 $M$ 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 $f(x)\in M$，① 方程 $f(x)-x=0$ 有实数根；② 函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 满足 $0<f'(x)<1$． 2022-04-17 21:13:01
27066 59579f48d3b4f9000ad5e9cb 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$． 2022-04-17 21:48:00
27023 591176bde020e7000a7988e0 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足关系 ${a_{n + 1}} = 2{a_n}^2 - 1$，$n = 1,2, \cdots $，若存在 $N$ $ \geqslant 2 $ 满足 $ {a_N} = 1$．试证明： 2022-04-17 21:24:00
26974 591266c7e020e7000878f70a 高中 解答题 自招竞赛 是否存在 $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$，使得 $\sin x,\cos x, \tan x, \cot x$ 为组成等差数列的四个数（即某种排列可以构成等差数列），请说明理由． 2022-04-17 20:56:59
26957 59126cc1e020e7000878f75a 高中 解答题 自招竞赛 若存在 $M$，使任意 $t \in D$（$D$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的定义域），都有 $\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant M$，则称函数 $f\left( x \right)$ 有界．问函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$ 上是否有界？ 2022-04-17 20:48:59
26688 591416a90cbfff000adcab84 高中 解答题 高中习题 若 $f(x)$ 是定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的连续周期函数，则 $f(x)$ 或为常值函数或有最小正周期． 2022-04-17 20:17:57
26373 5927d95250ce84000aaca991 高中 解答题 高考真题 已知集合 ${S_n} = \left\{ X \mid X = \left({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\right),{x_i} \in \left\{ 0,1\right\} ,i = 1,2, \cdots ,n\right\} \left(n \geqslant 2\right)$，对于 $A = \left({a_1},{a_2}, \cdots , {a_n} \right)$，$B = \left({b_1},{b_2}, \cdots {b_n},\right) \in {S_n}$，定义 $ A $ 与 $ B $ 的差为 $A - B = \left(|{a_1} - {b_1}|,|{a_2} - {b_2}|, \cdots ,|{a_n} - b_n|\right)$；$ A $ 与 $ B $ 之间的距离为 $\displaystyle d\left(A,B\right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} |{a_i} - {b_i}|$． 2022-04-17 20:20:54
26361 5927ddc950ce840007247ab0 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c - \dfrac{1}{a_n}$． 2022-04-17 20:14:54
26338 592e2c3deab1df0007bb8cc7 高中 解答题 高中习题 若数列 $\{a_n\},(n\in\mathbb N^*)$ 满足：
① $a_n\geqslant0$；
② $a_n-2a_{n+1}+a_{n+2}\geqslant0$；
③ $a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant1$．
则称数列 $\{a_n\}$ 是“和谐”数列．		 2022-04-17 20:03:54
26337 592e2c8beab1df000ab6eba9 高中 解答题 高中习题 设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前项和（$n=1,2,3,\cdots$），按如下方式定义数列 $\{a_n\}:a_1=m(m\in\mathbb N^*)$，对任意 $k\in\mathbb N^*$，$k>1$，设 $\{a_n\}$ 为满足 $0\leqslant a_k\leqslant k-1$ 的整数，且 $k$ 整除 $S_k$． 2022-04-17 20:02:54
26331 592e3012eab1df000ab6ebb9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足，$a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\dfrac{a^2_{n+1}+(-1)^n}{a_n}$，其中 $n\geqslant1$． 2022-04-17 20:58:53
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