如图所示，对于一个正 $n$ 边形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$，延长 $A_kA_{k+1}$ 至 $B_{k+1}$（记 $A_{n+1}=A_1$，$B_{n+1}=B_1$），使得 $\triangle A_kB_kB_{k+1}$ 的周长相等．求证：所有三角形均全等．
【难度】
【出处】
2011年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑两个三角形 $A_pB_pB_{p+1}$ 和 $A_qB_qB_{q+1}$，由于$$\angle B_pA_pB_{p+1}=\angle B_qA_qB_{q+1},$$于是若 $A_pB_p\leqslant A_qB_q$，则 $A_pB_{p+1}\geqslant A_qB_{q+1}$，否则根据余弦定理，有$$B_pB_{p+1}<B_qB_{q+1},$$这样就与两个三角形的周长相等矛盾．类似的，若 $A_pB_p\geqslant A_qB_q$，则 $A_pB_{p+1}\leqslant A_qB_{q+1}$．
因此，若 $n$ 为奇数，那么由 $A_1B_1\leqslant A_2B_2$ 可以推得$$A_3B_3\leqslant A_4B_4,\cdots ,A_nB_n\leqslant A_1B_1,$$因此$$A_1B_1=A_2B_2=\cdots =A_nB_n,$$命题成立；类似的，$A_1B_1\geqslant A_2B_2$ 时命题也成立．
若 $n$ 为偶数，那么若 $A_1B_1\leqslant A_3B_3$，那么$$A_1B_1\leqslant A_3B_3\leqslant A_5B_5\leqslant \cdots \leqslant A_{n-1}B_{n-1}\leqslant A_1B_1,$$因此$$A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1},$$类似的，若 $A_1B_1\geqslant A_3B_3$，也有$$A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1}.$$同理可得$$A_2B_2=A_4B_4=\cdots =A_nB_n,$$进而用同样的方式可以从 $A_1B_1$ 与 $A_2B_2$ 的大小关系推导出 $A_1B_1=A_2B_2$．
综上所述，所有的 $A_iB_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）均相同，进而所有的三角形都全等，原命题得证．
因此，若 $n$ 为奇数，那么由 $A_1B_1\leqslant A_2B_2$ 可以推得$$A_3B_3\leqslant A_4B_4,\cdots ,A_nB_n\leqslant A_1B_1,$$因此$$A_1B_1=A_2B_2=\cdots =A_nB_n,$$命题成立；类似的，$A_1B_1\geqslant A_2B_2$ 时命题也成立．
若 $n$ 为偶数，那么若 $A_1B_1\leqslant A_3B_3$，那么$$A_1B_1\leqslant A_3B_3\leqslant A_5B_5\leqslant \cdots \leqslant A_{n-1}B_{n-1}\leqslant A_1B_1,$$因此$$A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1},$$类似的，若 $A_1B_1\geqslant A_3B_3$，也有$$A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1}.$$同理可得$$A_2B_2=A_4B_4=\cdots =A_nB_n,$$进而用同样的方式可以从 $A_1B_1$ 与 $A_2B_2$ 的大小关系推导出 $A_1B_1=A_2B_2$．
综上所述，所有的 $A_iB_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）均相同，进而所有的三角形都全等，原命题得证．
答案
解析
备注
